bestimmte Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:59 Di 19.06.2012 | | Autor: | sweety89 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende bestimte Integrale
a) [mm] \integral_{e}^{e^2}{(lnx)^3 dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{e}^{e^e}{ln(lnx):ln(x^x) dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{1}^{e}{1-xln(x):xe^x dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Forumsmitglieder,
ich sitze gerade an diesen drei Aufgaben und irgendwie komme ich nicht damit zurecht. Vielleicht hat jemand mehr Ahnung von bestimmten Integralen als ich und kann mir weiterhelfen.
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Hallo sweety89,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie folgende bestimte Integrale
>
> a) [mm]\integral_{e}^{e^2}{(lnx)^3 dx}[/mm]
>
Das lässt sich mit partieller Integration lösen.
> b) [mm]\integral_{e}^{e^e}{ln(lnx):ln(x^x) dx}[/mm]
>
Hier kommt die Substitutionsmethode zum Zug.
> c) [mm]\integral_{1}^{e}{1-xln(x):xe^x dx}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Forumsmitglieder,
>
> ich sitze gerade an diesen drei Aufgaben und irgendwie
> komme ich nicht damit zurecht. Vielleicht hat jemand mehr
> Ahnung von bestimmten Integralen als ich und kann mir
> weiterhelfen.
Poste doch zunächst Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 19.06.2012 | | Autor: | sweety89 |
| Aufgabe | | [mm] x(lnx)^3-\integral{3(lnx)^2 dx}= x(lnx)^3-3x(lnx)^2+\integral{6(lnx) dx}= x(lnx)^3-3x(lnx)^2+6xlnx-6x [/mm] |
für a) hätte ich via partielle Integration dies.
ist das so richtig?...und wie mach ich dann weiter?
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Hallo sweety89,
> [mm]x(lnx)^3-\integral{3(lnx)^2 dx}= x(lnx)^3-3x(lnx)^2+\integral{6(lnx) dx}= x(lnx)^3-3x(lnx)^2+6xlnx-6x[/mm]
>
> für a) hätte ich via partielle Integration dies.
>
> ist das so richtig?...und wie mach ich dann weiter?
Die Stammfunktion ist richtig.
Setze jetzt die Grenzen ein.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Di 19.06.2012 | | Autor: | sweety89 |
Okay, vielen lieben Dank. Bei den anderen zwei Aufgaben komme ich leider gar nicht klar, da ich bei dem Thema mit der Substitution gefehlt habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Di 19.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo sweety
die Ausrede mit gefehlt hört sich nach Schule an, und auch da kann man nachholen, die Aufgabe eher nach uni oder Fachhochschule. Bitte ergänze dein Profil, damit wir das Niveau einschätzen können.
im netz , deinem script, deinem buch findest du dazu anleitungen z.B bei http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm
unter analysis
mach dich schlau!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Mi 20.06.2012 | | Autor: | sweety89 |
| Aufgabe | | 2e(1+e)hätte ich als Ergebnis für a) raus |
ist das Ergebnis richtig?> Hallo sweety89,
> Die Stammfunktion ist richtig.
>
> Setze jetzt die Grenzen ein.
>
>
> Gruss
> MathePower
>
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ja ist richtig ;)
LG Scherzkrapferl
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Hallo sweety!
Hier solltest Du im Nenner zunächst eines der  Logarithmusgesetze anwenden:
[mm] $\bruch{\ln\left[ \ \ln(x) \ \right]}{\ln\left( \ x^x \ \right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln\left[ \ \ln(x) \ \right]}{x*\ln(x)}$
[/mm]
Nun geht es weiter mit der Substitution $u \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 20.06.2012 | | Autor: | sweety89 |
| Aufgabe | Also hier habe ich mich jetzt versucht and dieser b).
Ansatz:
[mm] ln(x^x)=xln(x)
[/mm]
[mm] \integral_{e}^{e^e}\bruch{ln (lnx)}{xln(x)} [/mm] dx
u=ln(x) [mm] u'=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{e}^{e^e}\bruch{ln (u)}{u} [/mm] du
mit ln(e)=1 und [mm] ln(e^2)=2 [/mm] erhalte ich am Ende
[mm] (\bruch{1}{2})(ln(2)^2-ln(1)^2) [/mm] |
kann mir das jemand eventuell bestättigen?
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Hallo sweety,
das sieht fast komplett gut aus.
> Also hier habe ich mich jetzt versucht and dieser b).
>
> Ansatz:
>
> [mm]ln(x^x)=xln(x)[/mm]
>
> [mm]\integral_{e}^{e^e}\bruch{ln (lnx)}{xln(x)}[/mm] dx
>
> u=ln(x) [mm]u'=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{e}^{e^e}\bruch{ln (u)}{u}[/mm] du
Hier hast Du die Integrationsgrenzen nicht mit substituiert!
> mit ln(e)=1 und [mm]ln(e^2)=2[/mm] erhalte ich am Ende
Wieso auf einmal [mm] e^2? [/mm] Oder kann ich nur das Kleingedruckte nicht richtig lesen?
> [mm](\bruch{1}{2})(ln(2)^2-ln(1)^2)[/mm]
> kann mir das jemand eventuell bestättigen?
Wenn die obere Grenze in der ursprünglichen Aufgabe [mm] e^2 [/mm] war, ist das richtig. Ich vermute aber, dass die Grenze tatsächlich [mm] e^e [/mm] war, denn dann wird das Ergebnis viel glatter. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 21.06.2012 | | Autor: | sweety89 |
| Aufgabe | | okay, wenn ich jetzt mit e und [mm] e^e [/mm] als Grenze integriere habe ich am Ende nur noch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] da stehen. |
Kann das Ergebniss so stimmen oder bin ich wieder auf dem Holzweg?
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Hallo,
> okay, wenn ich jetzt mit e und [mm]e^e[/mm] als Grenze integriere
> habe ich am Ende nur noch [mm]\bruch{1}{2}[/mm] da stehen.
> Kann das Ergebniss so stimmen oder bin ich wieder auf dem
> Holzweg?
So ist es richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo sweety!
> c) [mm]\integral_{1}^{e}{1-xln(x):xe^x dx}[/mm]
Hier ist leider nicht eindeutig klar, wie die zu integrierende Funktion aussieht. Bitte setze eindeutige Klammern oder verwende unseren Formeleditor.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 20.06.2012 | | Autor: | sweety89 |
| Aufgabe | | $ [mm] \integral_{1}^{e}\bruch{1-x*ln(x)}{xe^x} [/mm] dx $ |
> Hallo sweety!
>
>
> > c) [mm]\integral_{1}^{e}{1-xln(x):xe^x dx}[/mm]
>
> Hier ist leider nicht eindeutig klar, wie die zu
> integrierende Funktion aussieht. Bitte setze eindeutige
> Klammern oder verwende unseren Formeleditor.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Also so sollte es jetzt richtig sein. Bei der Aufgabe hänge ich in den Seilen.
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Hallo sweety,
das ist zugegeben eine harte Nummer, auch wenn die Lösung nachher ganz einfach ist.
> [mm]\integral_{1}^{e}\bruch{1-x*ln(x)}{xe^x} dx[/mm]
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> Also so sollte es jetzt richtig sein. Bei der Aufgabe
> hänge ich in den Seilen.
Ich betrachte mal das unbestimmte Integral und teile es in zwei Integrale auf.
[mm] \integral{\bruch{1-x*\ln{(x)}}{x*e^x}\ dx}=\blue{\integral{\bruch{1}{x*e^x}\ dx}}-\green{\integral{\bruch{\ln{(x)}}{e^x}\ dx}}
[/mm]
Die beiden Integrale sehen so aus, als könnte man sie partiell integrieren. Versuchen wirs.
1)
[mm] \blue{\integral{\bruch{1}{x*e^x}\ dx}}=\bruch{\ln{(x)}}{e^x}-\integral{\bruch{-\ln{(x)}}{e^x}}
[/mm]
Hm. Das sieht nicht besser aus, aber auf der rechten Seite ist interessanterweise das grüne Integral aufgetaucht. Versuchen wir also das.
2)
[mm] \green{\integral{\bruch{\ln{(x)}}{e^x}\ dx}}=-\bruch{\ln{(x)}}{e^x}-\integral{\bruch{-1}{x*e^x}\ dx}
[/mm]
Sieht nicht besser aus, aber wie auch bei vielen trigonometrischen Funktionen ist man sozusagen nach zweimaliger partieller Integration wieder am Anfang. Leider klappt das aber hier nicht mit dem Rückwärtseinsetzen.
Trotzdem müsste an dieser Stelle klar geworden sein, dass die ursprünglich zu integrierende Funktion wie folgt aufgebaut ist:
[mm] \underbrace{\bruch{1}{x}}_{\blue{u'(x)}}*\underbrace{\bruch{1}{e^x}}_{v(x)}+\underbrace{\ln{(x)}}_{\blue{u(x)}}*\underbrace{\left(-\bruch{1}{e^x}\right)}_{v'(x)}
[/mm]
...und das sollte Dir vom Ableiten irgendwie bekannt sein.
Das ist übrigens fast immer der Fall, wenn das zweimalige partielle Integrieren so wie hier zu nichts führt. Meistens hat man dann nur genau diese Struktur übersehen. Hier z.B. ist sie deswegen leicht zu übersehen, weil [mm] v(x)=e^{-x} [/mm] und [mm] v'(x)=-e^{-x} [/mm] ist, wodurch sich das eigentlich erwartete Vorzeichen des 2. Terms umkehrt.
Und, hast Du jetzt die Lösung?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Do 21.06.2012 | | Autor: | sweety89 |
Also irgendwie komme ich hier bei der Aufgabe kein bisschen weiter, nach langem knobbeln und ausprobieren veryweifle ich gerade mal wieder.
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Hallo sweety,
die Produktregel beim Ableiten kennst Du doch.
Leite mal [mm] \ln{(x)}*e^{-x} [/mm] ab. Dann müsstest Du meinen letzten Post in diesem Ast verstehen...
Grüße
reverend
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