bestimmte Reieh < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Do 13.04.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo schon wieder!
Ich suche gerade Infos über die Reihe [mm] \summe_{i=1}^n\bruch{1}{i}. [/mm] Hat sie einen bestimmten Namen? Ich hab's irgendwie nirgendwo gefunden. Und konvergiert diese Reihe? Jedenfalls sehe ich nicht so ganz, wieso gilt:
[mm] \summe_{i=1}^n\bruch{1}{i}=\Theta(\log{n}) [/mm] oder hat das gar nichts damit zu tun?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 13.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Bastiane!
> Ich suche gerade Infos über die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^n\bruch{1}{i}.[/mm] Hat sie einen bestimmten Namen?
Du meinst fuer $n [mm] \to \infty$? [/mm] Ja, sie heisst ![[]](/images/popup.gif) harmonische Reihe.
> Ich hab's irgendwie nirgendwo gefunden. Und konvergiert
> diese Reihe?
Nein, sie divergiert. Allerdings sehr sehr langsam.
> Jedenfalls sehe ich nicht so ganz, wieso gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^n\bruch{1}{i}=\Theta(\log{n})[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder hat das gar
> nichts damit zu tun?
Doch, das hat was damit zu tun. Kennst du das Integralkriterium fuer Reihen? Wenn du eine monoton fallende Funktion $f : \left[1, \infty\right[ \to \IR_{\ge 0}$ hast, dann konvergiert die Reihe $\sum_{k=1}^\infty f(k)$ genau dann, wenn das Integral $\int_1^\infty f(x) \; dx$ konvergiert.
Und da $\int_1^n \frac{1}{x} \; dx = \left. \ln x \right|_1^x = \ln(x)$ ist, ist also $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \Theta(\ln n)$ (das $\Theta$ heisst ja grad, dass $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ sich für $n \to \infty$ bis auf ein (positives) Vielfaches wie $\ln n$ verhaelt).
LG Felix
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