bestimmung des wertebereichs < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ich habe g ( x ) = x + 2 gegeben für die gilt : N --> N .
Nun soll ich den wertebereich bestimmen und hab absolut keine Ahnung wie so etwas gehen soll.
Kann mir da einer helfen????????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich gehe mal davon aus, dass bei dir [mm] $\IN=\{1,2,3,\ldots\}$ [/mm] ist und nicht [mm] $\IN=\{0,1,2,3,\ldots\}$. [/mm] Stimmt das?
Was ist dann der Wertebereich von
[mm] $g:\IN \to \IN$, [/mm]
$g(x)=x+2$ ?
Setzen wir doch mal ein paar Zahlen ein:
$g(1)=1+2=3$
$g(2)=2+2=4$
$g(3)=3+2=5$
usw.
Wir haben also die Vermutung, da $g$ monoton wachsend ist (die Funktionswerte steigen mit größer werdenden $x$-Werten immer mehr an), dass für den Wertebereich [mm] $W_g$
[/mm]
[mm] $W_g=\{3,4,5,\ldots\} [/mm] = [mm] \{y \in \IN\, : \, y\ge 3\}$
[/mm]
gilt.
Formal können wir das so nachweisen: Sei $y [mm] \in \IN$, [/mm] $y [mm] \ge [/mm] 3$, beliebig gewählt. Dann setze $x:=y-2$. Wegen $y [mm] \ge [/mm] 3$ gilt: $x [mm] \in \IN$ [/mm] und
$g(x) = g(y-2) = y-2+2=y$.
Daraus folgt zumindestens:
[mm] $W_g \supset \{y \in \IN\, : \, y\ge 3\}$.
[/mm]
Ist nun umgekehrt $y [mm] \in W_g$, [/mm] dann ist zu zeigen, dass $y [mm] \ge [/mm] 3$ gilt. Es gibt aber ein $x [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$y = x+2$.
Wegen $x [mm] \ge [/mm] 1$ folgt:
$y =x+2 [mm] \ge [/mm] 1+2 = 3$,
womit alles gezeigt ist.
Viele Grüße
Julius
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