bestimmung von Häufungswerten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f(z)=z^2+c. [/mm] Finde Häufungswerte der Folge x1=0, x n+1 = f(xn), für
i) c=1/4
ii) c=i/4
iii) c=1/4+i/2
iv) c=-1+i/4
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Hallo!
Kann mir einer sagen wie ich an die Aufgabe rangehen muss? bei reelen Folgen schaut man sich ja eigentlich immer eine Teilfolge an aber wie geht das im komplexen?
Vieleen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Do 23.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum siehst du dir die Folge nicht einfach an, indem du c einsetzt, am besten in der form [mm] c=r*e^{i\phi}
[/mm]
vielleicht zeichnest du ein paar folgenglieder noch in der gausschen ebene auf?
Gruss leduart
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danke schonmal für den Tipp, aber ich blick da trotzdem noch nicht ganz durch wie das im Komplexen aussieht. Kann mir einer vielleicht ein gegeignetes beispiel nennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Der Begriff "Häufungswert" ist im Komplexen genauso def. wie Im Reellen:
Ist [mm] (w_n) [/mm] eine komplexe Folge, so heißt [mm] w_0 [/mm] ein Häufungswert von [mm] (w_n) \gdw w_0 [/mm] ist Grenzwert einer geeigneten Teilfolge von [mm] (w_n)
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 23.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was kommt den raus wenn du 1/4 einsetzt, schreib mal die ersten paar hin, dann mit i/4. dann mit den naechsten. Am besten du malst dir das ausser fuer 1/4 in der Gausschen Zahlenebene auf.
Gruss leduart
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Hallo zusammen!
Ich hänge vor derselben Aufgabe und hatte die Idee das über Fixpunktsatz zu lösen, allerdings ohne Erfolg.
Die erste is klar und einfach, aber schon bei der zweiten hakt es:
Ich hab mir alle Iterationen mit Matlab visualisiert und komm zu dem Schluss, dass auch die zweite und dritte eindeutig konvergieren, wenn man jedes vierte Folgeglied als Teilfolge nimmt hat man monotone konvergenz(laut Bild).
mit i/4:
[Dateianhang nicht öffentlich]
mit 1/4+i/2:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber wie untersuche ich das nun mathematisch?
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich hänge vor derselben Aufgabe und hatte die Idee das
> über Fixpunktsatz zu lösen, allerdings ohne Erfolg.
Wieso? Was hast du denn gemacht?
Man sieht schnell, dass die Funktion auf [mm] $\{ z \mid |z| < 1/2 \}$ [/mm] kontrahierend ist.
Und man sieht auch leicht dass fuer $|c| [mm] \le [/mm] 1/4$ die Funktion diesen Bereich auf sich selber abbildet.
Damit solltest du die ersten beiden ziemlich schnell erledigt bekommen.
> Die erste is klar und einfach, aber schon bei der zweiten
> hakt es:
>
> Ich hab mir alle Iterationen mit Matlab visualisiert und
> komm zu dem Schluss, dass auch die zweite und dritte
> eindeutig konvergieren, wenn man jedes vierte Folgeglied
> als Teilfolge nimmt hat man monotone konvergenz(laut
> Bild).
>
>
> mit 1/4+i/2:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hier bekommst du schon gleich die Idee, dass die Folge gegen $1/2 [mm] \cdot [/mm] i$ konvergiert.
> Aber wie untersuche ich das nun mathematisch?
Zeige doch erstmal, dass die Folgen beschraenkt sind.
Dann kannst du es nochmal mit Fixpunkten versuchen. Wenn du die Funktion nicht auf einen Kreis um den Ursprung betrachtest (da bekommst du das nicht hin) sondern auf einen Kreis um dem vermutlichen Konvergenzziel, kannst du eventuell bessere Aussagen treffen und schliesslich beweisen dass die Folge dagegen konvergiert.
Eventuell hilft es auch den Startpunkt [mm] $z_0$ [/mm] durch [mm] $f(z_0)$ [/mm] zu ersetzen.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich weiss ja nicht, was ihr bis dahin gemacht habt. Habt ihr JuliaMengen behandelt?
Die ersten 2 sind, wenn man den Fixpunkt ausgerechnet hat leicht zu machen, die Ableitung im Fixpunkt ist <1 , d.h. man muss fast nichts machen.
Bei 3 ist die Ableitung im Fixpunkt 1, d.h. er ist nicht geometrisch attraktiv, man hat hier zwar noch konvergenz, aber seehhhr langsam, deshalb wird es schwer zu beweisen sein,
Bei 4 ist die Ableitung in beiden Fixpunkten >1, d.h. dahin wird nichts konvergieren.
man hat aber die Fixpunkte von f(f(z)) als periodische Punkte, allerdings dahin konvergiert die Folge wieder, aber auch hier sehr langsam.
Noch zu 3.
wie du schon in deiner Zeichnung siehst, (die waere besser ohne die Verbindungslinien) hast du eine Art 4er Periode, wenn Konvergenz, dann darfst du nur jedes 4te z betrachten.
Aber vielleicht reicht der Hinweis, dass wegen der ableitung 1 die Konvergenz sehr schlecht ist.
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Sei [mm]f(z)=z^2+c.[/mm] Finde Häufungswerte der Folge x1=0, x n+1 =
> f(xn), für
> i) c=1/4
> ii) c=i/4
> iii) c=1/4+i/2
> iv) c=-1+i/4
Wer sich fragt warum man sich sowas anschaut, der sei ![[]](/images/popup.gif) hierhin verwiesen.
LG Felix
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