beweis bijektive abbildung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Fr 24.10.2008 | | Autor: | gigi |
Sei [mm] A_n= [/mm] {k [mm] \in \IN [/mm] / 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n}.
| Aufgabe | Zeige: [mm] f:A_n \to A_m [/mm] bijektiv [mm] \Rightarrow [/mm] n=m.
hinweis: Fallunterscheidung, Fall n>m: betrachte inklusionsabb. i: [mm] A_m\to A_n,i(k)=k [/mm] und die komposition i [mm] \circ [/mm] f: [mm] A_n \to A_n. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich verstehe leider schon den hinweis nicht so ganz! bin dankbar für jeden tipp, wie ich vorzugehen habe!
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Hallo,
auch hier würde ich mir erstmal ein Bildchen malen.
Versuch mal, eine bijektive Abbidung hinzubekommen, wenn n<mun wenn n>m.
Das klappt nicht.Warum?
Was folgt daraus, daß es nicht klappt?
Wenn Du es verstanden hast, kannst Du Dir dann überlegen, wie Du es aufschreibst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 25.10.2008 | | Autor: | gigi |
> Hallo,
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> auch hier würde ich mir erstmal ein Bildchen malen.
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> Versuch mal, eine bijektive Abbidung hinzubekommen, wenn
> n<m
dann habe ich in der urbildmenge weniger elemente als in der bildmenge. folglich ist nicht jedem bild ein urbild zugeordnet. (die abbildung ist dann injektiv, aber nicht surjektiv folglich nicht bijektiv?)
un wenn n>m.
in diesem fall gibt es mehr urbilder als bilder, jedem bild ist mindestens ein urbild zugeordnet, die abbildung ist surjektiv, aber nicht injektiv und damit nicht bijektiv (?)
>
> Das klappt nicht.Warum?
>
> Was folgt daraus, daß es nicht klappt?
wenn nicht gilt n<m und auch nicht n>m, dann muss m=n sein.
>
> Wenn Du es verstanden hast, kannst Du Dir dann überlegen,
> wie Du es aufschreibst.
aber wie schreibe ich das formal auf? ich verstehe wie gesagt auch den hinweis nicht ganz: was ist eine inklusionsabb., warum die komposition i [mm] \circ [/mm] f??
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> Gruß v. Angela
grüße zurück
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Mo 27.10.2008 | | Autor: | gigi |
ist meine frage nicht präzise genug?
ich wäre wirklich dankbar, wenn jemand auf meine aufgabe eingehen könnte!
gruß und tschüss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, es ist
[mm] $A_n=\{k\in\N\mid 1\leqslant k\leqslant n\}$
[/mm]
und
[mm] $f:A_n\longrightarrow A_m$
[/mm]
Aufgabe: Zeige
[mm] $f:A_n\longrightarrow A_m$ [/mm] bijektiv [mm] $\quad\Longrightarrow\quad [/mm] n=m$
Lösung:
Du musst zunächst eine Fallunterscheidung machen. Da Du eine abzählbar endliche Menge hast, ist die Aufgabe mit etwas Vorstellungsvermögen recht einfach.
1. Fall: $n>m$
In diesem Fall ist die Anzahl an Elementen der Mengen [mm] $A_n$ [/mm] und [mm] $A_m$
[/mm]
[mm] $\vert{A_n}\vert=n>m=\vert{A_m}\vert$
[/mm]
Wie Du es schon richtig bemerkt hast, besitzt mindestens ein Bild mehrere Urbilder. Damit ist Deine Abbildung $f$ nicht injektiv und insbesondere auch nicht bijektiv.
2. Fall: $n<m$
In diesem Fall ist die Anzahl an Elementen der Mengen [mm] $A_n$ [/mm] und [mm] $A_m$
[/mm]
[mm] $\vert{A_n}\vert=n
Wie Du es auch hier schon richtig bemerkt hast, besitzt mindestens ein Element von der Menge [mm] $A_m$ [/mm] kein Urbild. Damit ist Deine Abbildung $f$ nicht surjektiv und insbesondere auch nicht bijektiv.
3. Fall: $n=m$
In diesem Fall definieren wir uns die Abbildung
[mm] $f:A_n\longrightarrow A_m=A_n$ [/mm]
durch
[mm] $k\longmapsto [/mm] k$ fur jedes [mm] $k\in A_n$
[/mm]
Diese Abbildung ist sowohl surjektiv als auch injektiv also bijektiv. (Diese Abbildung bezeichnet man überings als Identitätsabbildung.)
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Es ist auch möglich den Beweis mithilfe der Inklusionsabbildung zu führen, ich finde meinen Beweis jedoch verständlicher. Falls Du es gerne wissen möchtest, wie es mit der Inklusionsbbildung funktioniert, musst Du noch einmal schreiben.
Gruß
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:45 Mo 27.10.2008 | | Autor: | gigi |
besten dank auf alle fälle für deine lösung--ich finde sie ebenfalls sehr logisch und verständlich so!
aber da ja extra der hinweis in der aufgabenstellung gegeben ist, würde (und muss) ich schon ganz gern noch auf die inklusionsabbildung und die komposition eingehen, zumal ich nicht ganz verstehe, was da genau gemeint und verlangt ist!
gruß und dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal,
> aber da ja extra der hinweis in der aufgabenstellung
> gegeben ist, würde (und muss) ich schon ganz gern noch auf
> die inklusionsabbildung und die komposition eingehen, zumal
> ich nicht ganz verstehe, was da genau gemeint und verlangt
> ist!
Eine Inklusion ist eine Abbildung, die eine Menge (hier [mm] $A_m$) [/mm] in ihre Grundmenge (hier [mm] $A_n$) [/mm] einbettet. So wurde die Inklusionsabbildung auch bei Dir für $m<n$ definiert
[mm] $i:A_m\longrightarrow A_n$ [/mm] mit $i(k)=k$ für [mm] $k\in [/mm] A:m$
Inklusionsabbildungen haben außerdem die Eigenschaft, dass sie injektiv sind, was sich auch an Deinem Beispiel leicht sehen lässt.
Leider habe ich jetzt nicht die Zeit, um Dir genauer zu helfen. Um Dir die Möglichkeit zu geben, dass jemand anderes Dir hilft, schreibe ich nur eine Mitteilung.
> gruß und dank
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mi 29.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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