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beweis binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 So 10.10.2004
Autor: korsdal

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


hallo,
ich hab schwierigkeiten eine beweis einer gesetzmäßigkeit des
pascalschen dreiecks zu folgen.

hier die zu beweisende gesetzmäßigkeit:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] =  [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]

man kommt dann irgandwann an den punkt,
wo ein hauptnenner gebildet werden muss.
unser prof hat das ganz selbstverständlich auch an
die tafel geschrieben, nur verstanden hab ich es nicht:

[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] +  [mm] \bruch{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} [/mm]

//nachdem der hauptnenner gebildet wurde

=  [mm] \bruch{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!} [/mm]


1. wie bildet er diesen hauptnenner ?
2. was bedeutet:  [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} [/mm]  =   [mm] 2^{n} [/mm]

3. gibts irgendwo gute literatur über dieses thema?
ich möchte es nämlich verstehen und nicht nur stupide die
beweise auswendig lernen.

hab es in der schule nie gehabt. studiere nun medieninformatik.

vielen dank
und grüße

tim
        
Bezug
beweis binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Mo 11.10.2004
Autor: informix

Hallo Tim!
[willkommenmr]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

danke für den Hinweis
>
> hallo,
>  ich hab schwierigkeiten eine beweis einer gesetzmäßigkeit
> des
>  pascalschen dreiecks zu folgen.
>  
> hier die zu beweisende gesetzmäßigkeit:
>   [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] +  [mm]\vektor{n \\ k+1}[/mm] =  [mm]\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]
>
> man kommt dann irgandwann an den punkt,
>  wo ein hauptnenner gebildet werden muss.
>  unser prof hat das ganz selbstverständlich auch an
> die tafel geschrieben, nur verstanden hab ich es nicht:
>  
> [mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] +  [mm]\bruch{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} [/mm]
>  
> //nachdem der hauptnenner gebildet wurde

Schau dir die Nenner doch mal an:

$k!(n-k)!$ und $(k+1)!(n-k-1)!$
Links "fehlt" in dem großen Produkt $k!$ der Faktor $(k+1)$,
rechts fehlt der Faktor $(n-k)$; denn dann gilt:
$k!(k+1)(n-k) = (k+1)!((n-k)-1)!(n-k)$
Du musst also nur den linken Bruch mit $(k+1)$ erweitern
und den rechten Bruch mit $(n-k)$ und erhältst:

[mm]=\bruch{n! *(k+1)}{k!(k+1)(n-k)!} + \bruch{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!(n-k)}[/mm]
in einem Bruch zusammengefasst:
> [mm]=\bruch{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}[/mm]
>
>
> 1. wie bildet er diesen hauptnenner ?
> 2. was bedeutet:  [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} = 2^{n}[/mm]

Du sollst für ein bestimmtes $n$ die Binomialkoeffizienten von $i=0$ bis $i=n$ addieren:
[mm] $\vektor{3\\0}+\vektor{3\\1}+\vektor{3\\2}+\vektor{3\\3}=??$ [/mm]
Rechne mal selbst, auch mit einem anderen $n$!
> 3. gibts irgendwo gute literatur über dieses thema?
>  ich möchte es nämlich verstehen und nicht nur stupide die Beweise auswendig lernen.

[zustimm]
Ich bin nicht mehr an der Universität, aber in jedem Buch über Kombinatorik sollten diese Rechnungen erklärt sein.
Im übrigen hilft es immer, wenn man in kleinsten Schritten versucht, die Rechnungen der Professoren nachzurechnen. Sie überspringen gerne ein paar Rechenschritte, um Zeit zu sparen und weil sie natürlich die Mechanismen zur Genüge kennen ;-)  
> hab es in der schule nie gehabt. studiere nun
> medieninformatik.
>  
> vielen dank

dafür sind wir ja hier ;-)
>  
Bezug
                
Bezug
beweis binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Mo 11.10.2004
Autor: korsdal

hi,
vielen dank erstmal für die schnelle antwort.

ganz klar ist es mir aber immernoch nicht.

1. warum fallen denn die fakultäten weg,
wenn du den hauptnenner bildest.
du erweiterst den zähler, aber ich hab nicht gerallt wie.

ich hätte beide zähler mit dem jeweils anderen nenner multipliziert
und zum schluss beide nenner nochmal multipliziert.

so hab ich es gelernt. raus kommt allerdings ein riesen term.
da sieht deiner natürlich viel elegenater aus und ist
auch noch richtig.... verdamt :-)


sorry, für die anstrengenden fragen...

grüße
tim
Bezug
                        
Bezug
beweis binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mo 11.10.2004
Autor: informix

Hallo tim,
>  vielen dank erstmal für die schnelle antwort.
>  
> ganz klar ist es mir aber immernoch nicht.
>  
> 1. warum fallen denn die fakultäten weg,
>  wenn du den hauptnenner bildest.
>  du erweiterst den zähler, aber ich hab nicht gerallt wie.

Das ist die Folge der Rechnung mit Fakultäten:
$n!=1*2* .... * (n-1)*n$
[mm] $(n+1)!=\underbrace{1*2* ... *(n-1)*n}_{n!}*(n+1)$ [/mm]
es gibt also einen Faktor mehr: $(n+1)!=n!*(n+1)$
Und genau dies habe ich bei meinen Erweiterungen ausgenutzt.

> ich hätte beide zähler mit dem jeweils anderen nenner multipliziert
>  und zum schluss beide nenner nochmal multipliziert.
>  
> so hab ich es gelernt. raus kommt allerdings ein riesen term.

Das ist das leidige "Über-Kreuz-Multiplizieren", das zwar funktioniert, aber eben viel zu große Terme produziert.
Viel besser ist es, nach fehlenden Faktoren in beiden Nennern zu suchen und wechselseitig nur damit zu erweitern.

>  da sieht deiner natürlich viel elegenater aus und ist
>  auch noch richtig.... verdammt :-)
>  
>
> sorry, für die anstrengenden fragen...

Dafür sind wir ja hier ;-)

Frag ruhig weiter, wenn noch was unklar ist.

> grüße
>  tim
>  

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