beweis der exp funktion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Sa 01.11.2008 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Sei X ein Banachraum und T [mm] \in [/mm] B(X,X). [mm] exp(T)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{T^n}{n!}.
[/mm]
Zeigen Sie für alle s,t [mm] \infty \IR:
[/mm]
exp([s+t]T=exp(tT)exp(sT), exp(tT) [mm] \in [/mm] G(X,X), wobei G(X,X) topologischer Isomorphismus ist. |
Hallo,
also habe einen Ansatz:
[mm] exp([s+t]T)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(s+t)T^n}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{sT^n+tT^n}{n!}=...=s*exp(T)+t*exp(T)
[/mm]
also dies wäre mein ergebnis, was aber nicht stimmt. :(
könnte mir bitte jemand sagen wo mein fehler liegt???
danke im vorraus
LG
nimet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 01.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm] $exp([s+t]T)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\red{(s+t)T^n}}{n!}=...$
[/mm]
Du meinst wohl [mm] $$\sum_{n=0}^\infty\frac{((s+t)T)^n}{n!}$$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Sa 01.11.2008 | | Autor: | nimet |
ooohh ja danke :)
also habe es jetzt verbessert und komme dann auf:
[mm] ...=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{T^n}{n!} \* \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(s+t)^n}{n!}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{T^n}{n!} \* \summe_{m=0}^{n} \vektor{n\\m} t^n*s^{n-m}=...???
[/mm]
und was jetzt????
wie muss ich vorangehen????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 01.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]...=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{T^n}{n!} \* \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(s+t)^n}{n!}[/mm]
Nene das geht so nicht. Reihen werden nicht gliedweise multipliziert, sondern mit dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produkt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 02.11.2008 | | Autor: | nimet |
achso ok gut!also habe dann sowas hier stehen:
[mm] c_{n}= \summe_{m=0}^{n} \bruch{(tT)^m}{m!} \* \bruch{(sT)^(n-m)}{(n-m)!}=...=\bruch{1}{n!} \* (tT+sT)^n
[/mm]
ist das jetzt so richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 So 02.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> achso ok gut!also habe dann sowas hier stehen:
>
> [mm]c_{n}= \summe_{m=0}^{n} \bruch{(tT)^m}{m!} \*\frac{(sT)^{\red{(n-m)}}}{(n-m)!}=...=\bruch{1}{n!} \* (tT+sT)^n[/mm]
>
> ist das jetzt so richtig???
Bis auf den kleinen Tippfehler ja... is doch immer wieder schön zu sehen wie die Exponentialfunktion das macht 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 So 02.11.2008 | | Autor: | nimet |
:) danke pelzig hat mich echt weiter geholfen ;)
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