beweis f(x)=x^-n ... < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | führe den beweis durch, dass [mm] f(x)=x^{-n }die [/mm] ableitung [mm] f'(x)=-nx^{-n-1} [/mm] hat.
benutze hierfür die h-methode! |
hallo,
also die aufgabe lautet wie oben erwähnt.
hab jetzt acuh schon mal probiert den beweis durchzuführen doch irgendiwe klappt es net...
[mm] f(x)=x^{-n} [/mm] = [mm] 1/x^n
[/mm]
f'(x)= lim [mm] ((x+h)^{-n} [/mm] - [mm] x^{-n} [/mm] )/ h
h->0
und da fängt auch schon mein problem an.
ich weiß net wie ich weiterrechnen soll...
ich hoffe mir kann jemand helfen.
lg
steffi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> führe den beweis durch, dass [mm] f(x)=x^{-n} [/mm] die ableitung
> [mm] f'(x)=-nx^{-n-1} [/mm] hat.
> benutze hierfür die h-methode!
> hallo,
> also die aufgabe lautet wie oben erwähnt.
> hab jetzt acuh schon mal probiert den beweis durchzuführen
> doch irgendiwe klappt es net...
> [mm] f(x)=x^{-n} [/mm] = [mm]1/x^n[/mm]
> f'(x)= lim [mm] (x+h)^{-n} [/mm] - [mm] x^{-n} [/mm] / h
> h->0
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dir ist also bereits klar, daß Du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ (x+h)^{-n} - x^{-n}}{h} [/mm] berechnen mußt.
Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ (x+h)^{-n} - x^{-n}}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ \bruch{1}{(x+h)^{n}} - \bruch{1}{x^n}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n-(x+h)^n}{hx^n(x+h)^n}
[/mm]
=...
[mm] (x+h)^n [/mm] kannst Du nun mit dem binomischen Satz ausrechnen, dann solltest Du weiterkommen.
Gruß v. Angela
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[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n-(x+h)^n}{hx^n(x+h)^n}[/mm]
das versteh ich schon irgendwie nicht...
waum steht denn jetzt so viel unter dem bruch???
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Hallo Steffi,
das ist bloß Bruchrechnung 
Da hat Angela in einem Schritt den Bruch im Zähler des Doppelbruchs gleichnamig gemacht und dann den Doppelbruch durch Multiplikation mit dem Kehrwert beseitigt.
Im Detail (ohne das [mm] \lim [/mm] vorneweg):
[mm] \bruch{ \bruch{1}{(x+h)^{n}} - \bruch{1}{x^n}}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{ \bruch{x^n}{x^n(x+h)^{n}} - \bruch{(x+h)^n}{x^n(x+h)^n}}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{ \bruch{x^n-(x+h)^n}{x^n(x+h)^n}}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^n-(x+h)^n}{x^n(x+h)^n}\cdot{}\bruch{1}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^n-(x+h)^n}{h\cdot{}x^n(x+h)^n}
[/mm]
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mi 08.08.2007 | | Autor: | steffi2505 |
oh mist...
vielen dank. irgendiwe stand ich grad auf dem schlauch.
lg
steffi
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