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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Di 14.06.2005 | | Autor: | lumpi |
Hallo und guten abend zusammen!!!
Total verzweifelt häng ich trotz der späten stunde noch über meinem Ana aufgaben! *seufz*
vielleicht kann mir ja einer von euch helfen:
seien f:[a,b]-> [mm] \IR, [/mm] g:[c,d]-> [mm] \IR [/mm] integrierbar! Zeigen sie dass dann [mm] \integral_{[a,b]x[c,d]}^{} [/mm] {f(x) g(y)d(x,y)}= [mm] (\integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx}) * [mm] \integral_{c}^{d} [/mm] {g(x) dx} womit gezeigt ist, dass das linke integral existiert!
mein ansatz ist zunächst das das hintere letzte integral so nicht stimmt, müßte es nicht g(y) dy heißen? Naja! Ich hab gedacht ich mach daraus ein doppelintegral [mm] \integral_{a}^{b} \integral_{c}^{d} [/mm] {f(x) g(y) dy dy} aber wie mach ich weiter?
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Hallo!
Der Trick ist, dass [mm] $\int_a^b [/mm] f(x)dx$ eine Konstante ist!
Was du brauchst ist eigentlich nicht wirklich der Satz von Fubini, sondern der Satz von Tonelli. Er besagt, dass wenn [mm] $\int_J\int_I f(x,y)dx\dy<\infty$ [/mm] für eine positive messbare Funktion $f$, dann gilt:
[mm] $\int_{I\times J}f(x,y)d(x,y)=\int_J\int_If(x,y)dx\,dy=\int_I\int_Jf(x,y)dy\,dx$.
[/mm]
Du zerlegst also $f$ und $g$: $f(x)=f_+(x)-f_-(x)$, $g(y)=g_+(y)-g_-(y)$, wobei $f_+,f_-,g_+,g_-$ nichtnegative Funktionen sind. Weil $f$ und $g$ integrierbar sind, sind auch diese Funktionen integrierbar. (Z.B. wegen [mm] $|f_+|\le|f|$, [/mm] $f_+$ messbar.)
Jetzt setzt du [mm] $I_+:=\{x\in\[a;b]:\ f_+(x)>0\}, [/mm] \ [mm] I_-:=\{x\in\[a;b]:\ f_-(x)>0\},\ J_+:=\{x\in\[c;d]:\ g_+(x)>0\},\ J_-:=\{x\in\[c;d]:\ g_-(x)>0\}$. [/mm] Diese Mengen sind messbar, weil $f_+$, usw. messbar sind.
Jetzt gilt:
[mm] $\infty> \left(\int_{[a;b]}f(x)dx\right)*\left(\int_{[c;d]}g(y)dy \right)= \left(\int_{[a;b]}f_+(x)-f_-(x)dx\right)*\left(\int_{[c;d]}g_+(y)-g_-(y)dy \right)=\left(\int_{I_+}f_+(x)dx-\int_{I_-}f_-(x)dx\right)*\left(\int_{J_+}g_+(y)dy-\int_{J-}g_-(y)dy\right)$.
[/mm]
Das multipliziere nun aus. Ich behandle jetzt mal den ersten Summanden:
[mm] $\underbrace{\int_{I_+}f(x)dx}_{=:C}*\int_{J_+}g(y)dy=C*\int_{J_+}g(y)dy=\int_{J_+}C*g(y)dy=\int_{J_+}\int_{I_+}f(x)dxg(y)dy=\int_{J_+}\int_{I_+}f(x)g(y)dx\,dy$.
[/mm]
Der letzte Schritt funktioniert deshalb, weil $g(y)$ bezüglich $x$ konstant ist.
Nach Tonelli ist also nun [mm] $\int_{I_+\times J_+}f_+(x)g_+(y)d(x,y)=\int_{I_+}\int_{J_+}f_+(x)g_+(y)dy\,dx<\infty$.
[/mm]
Weil $f_+(x)g_+(y)=0$ für alle [mm] $(x,y)\in([a;b]\times[c;d])\setminus(I_+\times [/mm] J_+)$, ist
[mm] $\int_{[a;b]\times [c;d]}f_+(x)g_+(y)d(x,y)=\int_{[a;b]}\int_{[c;d]}g_+(y)f_+(x)dy\,dx$.
[/mm]
Genauso kannst du es jetzt auch für die anderen Pärchen machen. Und dann musst du deine Formel eigentlich nur wieder zusammensetzen...
> mein ansatz ist zunächst das das hintere letzte integral so
> nicht stimmt, müßte es nicht g(y) dy heißen?
Ob man das $g(x)dx$ oder $g(y)dy$ nennt ist eigentlich egal, solange das Integral über $g$ nicht im Integral über $f$ steht. Man darf halt nicht mit den Intergrationsvariblen durcheinanderkommen. Schließlich sind das nur Bezeichnungen. Du könntest du Integrationsvariablen auch $m$ und $n$ nennen, ändern würde sich dadurch am Ergebnis gar nichts. Es ist halt nur nicht so üblich.
Gruß, banachella
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