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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:15 So 18.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | | Zeige: Für eine endliche Menge A gilt: die funktion ist injektiv und es existieren genau |A| Bilder. |
wie kann ich denn hier anfangen? ich habe absolut keine idee, wie ich das zeigen könnte...
wäre super, wenn mir jewmand helfen würde
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> Zeige: Für eine endliche Menge A gilt: die funktion ist
> injektiv und es existieren genau |A| Bilder.
Hallo,
welche Funktion denn?
Poste mal die vollständige Aufgabenstellung, hier schein ein bißchen etwas zu fehlen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 So 18.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
oh.. das einzige was sonst noch gesagt wird, ist, dass zwei mengen A und B und eine abbildung f: A-> B gegeben sind.
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> oh.. das einzige was sonst noch gesagt wird, ist, dass zwei
> mengen A und B und eine abbildung f: A-> B gegeben sind.
Hallo,
wenn das wirklich die Aufgab ist, dan nstimmt ja die Aussage, die Du zeigen sollst, nicht.
Nehmen wir [mm] A:=\{a,b,c\}, B:=\{5, 2},
[/mm]
und betrachten die Funktion f: [mm] A\to [/mm] B
mit
f(a):=5
f(b):=5
f(c):=5.
Diese Funktion ist keinesfalls injektiv.
Wie gesagt. der genaue Aufabentext von A-Z wäre sicher sinnvoll - nicht nur das, was Dir wichtig erscheint.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 So 18.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
ok, dann hier der komplette text, aber es war eigentlich alles, eben nur gestückelt...
Gegeben sind die Mengen A und B, und die Abbildung f: A->B. Zeige:
Für eine endliche Menge A gilt: die funktion ist injektiv [mm] \gdw [/mm] es existieren genau |A| Bilder.
oh, vllt hätte ich den pfeil nciht weglassen dürfen...
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Hallo Vicky,
Eine Funktion ist Injektiv, wenn $\ [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 \gdw f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] $
Gegeben ist die Funktion $\ f: A [mm] \to [/mm] B $ und die Menge $\ A $ soll endlich sein.
$\ f(A) := [mm] \{f(x) \in B : x \in A \} [/mm] $ ist das Bild von $\ f $ unter $\ A $.
Die Zielmenge muss nicht vollständig aus Bildern von $\ f $ unter der Definitionsmenge bestehen.
Tipp: Mit diesen Begriffen und Definitionen, könntest du Versuchen einen Widerspruchsbeweis durchzuführen.
Hilft Dir das?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
nein, tut mir leid.
die definition kannte ich soweit auch. ich dachte, dass ich vielleicht davon ausgehe, dass die funktion injektiv ist und damit beweise, dass die funkion |A| bilder hat und umgekehrt.
ich denke, dass für die mächtigkeit gilt: |f(x)|=|X|
aber wie ich jetzt von dem einen logisch auf das andere schließen soll, weiß ich nicht.
also, dass es stimmt, weiß ich schon, aber einfach nicht, wie ich es beweisen soll...
und einen widerspruchsbeweis ohne eindeutige funktion weiß ich erst recht nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genau das sollst du beweisen. wesentlich ist, dass A endlich ist.
machs dir an einfachen Beispielen erst mal klar.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Gegeben sind die Mengen A und B, und die Abbildung f: A->B. Zeige:
Für eine endliche Menge A gilt: die funktion ist injektiv $ [mm] \gdw [/mm] $ es existieren genau |A| Bilder. |
Hallo,
man hat hier also eine endliche Menge A vorgegeben, eine Funktion, die aus der Menge A in die Menge B abbildet und man soll zeigen
1. f injektiv ==> |f(A)| =|A|
2. |f(A)|=|A| ==> f injektiv.
Es fehlen mir hier bisher konkrete Aktivitäten.
Wenn Du nicht genau weißt, wie Du anfangen sollst, mach Dir doch erstmal ein etwas weniger allgmeines Beispiel.
Ich nehme jetzt mal |A|=4,
[mm] A:=\{a_1, a_2, a_3, a_4\}, [/mm] die [mm] a_i [/mm] sind dabei alle verschieden.
Dann schauen wir mal an, was f(A) ist: [mm] f(A)=\{ f(a_1), f(a_2), f(a_3), f(a_4)\}. [/mm]
Beachte: ohne weitere Voraussetzungen ist nicht gesagt, daß die [mm] f(a_i) [/mm] alle verschieden sind.
Wir können aber schonmal festhalten: [mm] |f(A)|\le [/mm] 4.
Jetzt geht's los:
Zu zeigen:
1. f injektiv ==> |f(A)| =|A|
Beweis: Sei also |A|=4, [mm] A:=\{a_1, a_2, a_3, a_4\} [/mm] und f injektiv.
Du könntest jetzt annehmen, daß |f(A)| <|A| ist und dies zu einem Widerspruch führen.
Was ist, wenn [mm] \{ f(a_1), f(a_2), f(a_3), f(a_4)\}< [/mm] 4 ?
Dann sind zwei der Funktionswerte gleich. Führe dies zum Widerspruch.
Andere Richtung:
Zu zeigen:
2. |f(A)|=|A| ==> f injektiv.
Beweis: |A|=4, [mm] A:=\{a_1, a_2, a_3, a_4\} [/mm] und [mm] |\{ f(a_1), f(a_2), f(a_3), f(a_4)\}|=4.
[/mm]
Nimm an, f wäre nicht injektiv. Dann gäbe es zwei Elemente aus A, ...
Wenn Du Dir das mal am Beispiel |A|=4 klargemacht hast und beweisen, dann ist der Schritt zu |a|=n mit [mm] n\in \IN [/mm] nicht mehr schwer.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Vicky89 |
vielen dank für eure hilfe, aber das alles ist ja einfach mein problem. mir ist das alles schon klar, aber ich weiß nicht, wie das zu beweisen habe. ich habe das vorher noch nie gemacht. ich weiß es einfach nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 19.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal
f injektiv ==> |f(A)| =|A|
vor.
Sei A = { [mm] a_1, a_2, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] } mit [mm] a_i \not= a_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j, also |A| = n
Dann ist f(A) = { [mm] f(a_1), f(a_2), [/mm] ..., [mm] f(a_n) [/mm] }
Da f injektiv ist, ist [mm] f(a_i) \not= f(a_j) [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j, also |f(A)| = n = |A|
FRED
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> ok, dann hier der komplette text, aber es war eigentlich
> alles, eben nur gestückelt...
> Gegeben sind die Mengen A und B, und die Abbildung f:
> A->B. Zeige:
> Für eine endliche Menge A gilt: die funktion ist injektiv
> [mm]\gdw[/mm] es existieren genau |A| Bilder.
>
> oh, vllt hätte ich den pfeil nicht weglassen dürfen...
naja, der ist eben wirklich essentiell !
Übrigens wird hier der Begriff "Bild" falsch
verwendet, wie auch ChopSuey schon ange-
deutet hat.
Wenn wir eine Funktion [mm] f:A\to{B} [/mm] haben, ist das
Bild der Menge A die Menge [mm] f(A)=\{f(x)\,|\,x\in A\}
[/mm]
Korrekt formuliert sollte es also heißen:
die Funktion f ist injektiv [mm] $\gdw$ [/mm] das Bild f(A) hat genau |A| Elemente
LG
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