beweis kettenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Di 19.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo ,
hab auf folgender seite den beweis der kettenrgel gefunden.
http://www.integralgott.de/diffr/dregelkett.htm
hab nur ein problem damit dass am ende dort [mm] \Delta [/mm] z im nenner des einen bruchs steht
woher weis ich denn da , obwohl wie es da geschrieben ist eien differenz in z vorliegt udn nicht in x , dass dieser bruch trotzdem die ableitung wird , sow ei es ja beidem zweiten also dem rechten bruch logisch ist, da ja durhc h also differenz in x geteilt wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 19.08.2008 | | Autor: | Blech |
Um das ganze mathematisch wirklich exakt zu machen, müßte man mit von Anfang an mit mehr Präzision rangehen, aber ich versuch's trotzdem:
[mm] $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
die rechte Seite heißt: für jede Nullfolge [mm] $(h_1,h_2,h_3,\ldots)$ [/mm] mit reellen Gliedern ungleich 0, d.h. [mm] $h_i\in\IR\backslash\{0\}$, $\forall i\in\IN$, $\lim_{i\to \infty} h_i=0$, [/mm] existiert der Grenzwert
[mm] $\lim_{i\to \infty}\frac{f(x+h_i)-f(x)}{h_i}$
[/mm]
und er ist auch für alle diese Nullfolgen gleich, d.h. er ist unabhängig von der Wahl der Nullfolge. Wenn das zutrifft, dann nennen wir diesen eindeutigen Grenzwert die Ableitung und schreiben das ganze $f'(x)$
In unserem Fall, haben wir demnach:
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{u(z+\Delta z)-u(z)}{\Delta z}\hat =\lim_{n\to\infty }\frac{u(z+\Delta z(h_n))-u(z)}{\Delta z(h_n)}\hat [/mm] = [mm] \lim_{\Delta z\to 0 }\frac{u(z+\Delta z)-u(z)}{\Delta z}$
[/mm]
weil [mm] $(\Delta z(h_1),\Delta z(h_2),\Delta z(h_3),\ldots)$ [/mm] wieder eine Nullfolge ist, und der Grenzwert für alle Nullfolgen gleich sein muß (schließlich ist u ja nach Voraussetzung in z differenzierbar)
(EDIT: Sorry, ich hatte zum Schluß noch etwas umgestellt, deswegen ging's unter:
[mm] $\Delta [/mm] z$ ist ja nach Definition $v(x+h)-v(x)$, d.h. [mm] $\Delta z=\Delta [/mm] z(h)$, weil es von h abhängt)
Wenn Dich sowas interessiert, kann ich Dir nur ![[]](/images/popup.gif) Analysis I von Otto Forster empfehlen. Die Bücher sind recht billig und sehr gut. Es ist nicht gerade Entspannungslektüre, aber die einzelnen Beweise sind (fast) immer ausführlich genug, daß man ihnen ohne Probleme folgen kann.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:22 Mi 20.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die ausführliche antwort
heißt das, dass der differenzialquotient nicht immer y/ x sein muss sondern die differenz im nenner auch durch andere y-werte gegeben sein kann solang alle von h abhängen?
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> hallo,
> danke für die ausführliche antwort
> heißt das, dass der differenzialquotient nicht immer y/ x
> sein muss sondern die differenz im nenner auch durch
> andere y-werte gegeben sein kann solang alle von h
> abhängen?
Hallo,
es kommt darauf an, in Anhängigkeit von welcher Variablen Du die Funktion betrachtest, nach welcher Variablen Du also ableitest.
Betrachtest Du eine Funktion f in Abhängigkeit von x, also f(x), so ist der Differentialquotient
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch {f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x},
[/mm]
betrachtest Du eine Funktion f in Abhängigkeit von z, also f(z), so ist der Differentialquotient
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch {f(z+\Delta z)- f(z)}{\Delta z},
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Blech |
> hallo,
> danke für die ausführliche antwort
> heißt das, dass der differenzialquotient nicht immer y/ x
> sein muss sondern die differenz im nenner auch durch
> andere y-werte gegeben sein kann solang alle von h
> abhängen?
Was man *meint*, wenn man schreibt
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm]
ist eben genau das oben:
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}:=\lim_{n\to\infty}\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n},$ [/mm] falls für jede beliebige Nullfolge [mm] $(h_1,h_2,h_3,\ldots)$ [/mm] der Grenzwert auf der rechten Seite der gleiche ist (also insbesondere existiert).
Allgemeiner sieht die Definition so aus:
[mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x) = a\ [mm] :\Longleftrightarrow$
[/mm]
Für alle Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \neq x_0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] $x_n \underset{n\to\infty}{\to} x_0\ \Rightarrow\ [/mm] f [mm] (x_n) \underset{n\to\infty}{\to} [/mm] a$
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm] selbst ist nur eine Ansammlung von Zeichen. Intuitiv ist klar, was man tun will, aber es fehlt ein mathematisch exakter Unterbau. Was heißt [mm] $h\to [/mm] 0$ denn eigentlich? Sobald die Funktionen stranger werden, kann's durchaus sein, daß das Ergebnis eben davon abhängt, wie h nun gegen 0 geht [mm] ($f(x):=x\sin \frac{1}{x}$ [/mm] mit f(0):=0 wäre so ein Beispiel). Also braucht man eine klare Definition, und die macht man wie oben, weil man für Zahlenfolgen den Grenzwert schon früher definiert hat.
Die Definition des Grenzwerts für Folgen sieht nämlich so aus:
[mm] $\lim_{n\to\infty} x_n=x\ :\Longleftrightarrow$
[/mm]
Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] so daß gilt [mm] $|x-x_k|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\geq [/mm] N$.
in unserem Fall ist also [mm] $x_n:=\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}$
[/mm]
Wie gesagt, kauf Dir ein Buch (bzw. leih's Dir über die Stadtbibliothek, die werden's notfalls bestellen können), wo von Anfang an systematisch vorgegangen wird. Sonst springen wir hier wild durch alle Bereiche, weil es halt alles aufeinander aufbaut. Bei Verständnisfragen, oder Fragen zur Motivation können wir gerne helfen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 20.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
nochmals danke aber ich muss ehrlich gestehen dass cih in deiner antwort den bezug auf die frage irgendwie nicht wirklich sehe , höcht wahrscheinlich wiel es etwas kompliziert ausgedrückt ist. Wir haben gelernt, dass im nenner des differentialquotients eine x differenz steht nun steht beim beweis der kettenregel jedoch eine z bzw v differenz da die differenz zwischen v(x+h) - v(x) für h gegen 0 nun sind diese v werte ja aber eigentlich y-werte und deswegen erscheint es mir nicht logisch den ausdruck dann einfach insgesamt als ableitung aufzufassen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Blech |
> hallo,
> nochmals danke aber ich muss ehrlich gestehen dass cih in
> deiner antwort den bezug auf die frage irgendwie nicht
> wirklich sehe , höcht wahrscheinlich wiel es etwas
> kompliziert ausgedrückt ist. Wir haben gelernt, dass im
> nenner des differentialquotients eine x differenz steht nun
> steht beim beweis der kettenregel jedoch eine z bzw v
> differenz da die differenz zwischen v(x+h) - v(x) für h
> gegen 0 nun sind diese v werte ja aber eigentlich y-werte
> und deswegen erscheint es mir nicht logisch den ausdruck
> dann einfach insgesamt als ableitung aufzufassen
Das hatte Andrea schon geschrieben.
f(x)=u(v(x))
Jetzt haben wir 2 Funktionen, v und u.
Wie wir die Variable benennen ist gleichgültig. Wir haben 2 Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] (bzw. Teilen der reellen Zahlen).
Allgemein:
Du hast eine beliebige Funktion $u:\ [mm] \IR\to\IR$.
[/mm]
Für die Ableitung der Funktion an der Stelle a schaust Du Dir nun an, wie sich das Bild von a (d.h. u(a)) verändert, wenn Du an a ein bißchen rumschraubst. Das ist der Differentialquotient.
a kann eine beliebige reelle Zahl sein, z.B. auch v(x), das ja in [mm] $\IR$ [/mm] liegt.
Es ist nicht so, als ob v(x) irgendein Tag hätte: "y-Wert, bitte nicht als x-Wert in Funktionen einsetzen". Wenn Du kein Problem mit dem Ausdruck u(v(x)) hast, dann setzt Du ja eh schon "y-Werte" als "x-Werte" ein.
ciao
Stefan
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