beweis mit gleichm. konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Di 07.08.2012 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | Sei [mm] $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine gleichmäßig konvergente funktionenfolge mit grenzwertfunktion $f$ und es gibt ein $a>0$ sodass [mm] $|f_n(x)|>a$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] und alle [mm] $x\in\mathbb{R}$.
[/mm]
zeigen sie: dann ist auch [mm] $\left(\frac{1}{f_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] glm. konvergent. |
vor dem eigentlichen beweis eine kleine behauptung: für die grenzwertfunktion $f$ gilt [mm] $|f(x)|\ge [/mm] a$.
beweis: angenommen, es würde $|f(x)|<a$ für ein x gelten. dann wäre [mm] $f(x)\in [/mm] (-a,a)$ und für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] gilt gleichzeitig: [mm] $f_n(x)\not\in [/mm] (-a,a)$ was nicht geht, da wegen der gleichmäßigen konvergenz [mm] $f_n$ [/mm] auch punktweise konvergent sein muss. es gilt also tatsächlich [mm] $|f(x)\ge [/mm] a$ für alle $x$. somit gilt auch [mm] $|f(x)\cdot f_n(x)|>a^2$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{f(x)f_n(x)}<1/a^2$
[/mm]
nun zum eigentlichen beweis:
sei [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ und [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass [mm] $|f_n(x)-f(x)|
Dann ist [mm] $|\frac{1}{f_n(x)}-\frac{1}{f(x)}|=|\frac{f(x)-f_n(x)}{f(x)(f_n(x)}|=|\frac{1}{f_n(x)f(x)}|\cdot |f(x)-f_n(x)|
ist der beweis so richtig?
danke schonmal und bis bald!
lg
flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 07.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](f_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] eine gleichmäßig konvergente
> funktionenfolge mit grenzwertfunktion [mm]f[/mm] und es gibt ein [mm]a>0[/mm]
> sodass [mm]|f_n(x)|>a[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] und alle
> [mm]x\in\mathbb{R}[/mm].
>
> zeigen sie: dann ist auch
> [mm]\left(\frac{1}{f_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] glm.
> konvergent.
> vor dem eigentlichen beweis eine kleine behauptung: für
> die grenzwertfunktion [mm]f[/mm] gilt [mm]|f(x)|\ge a[/mm].
> beweis:
> angenommen, es würde [mm]|f(x)|
> wäre [mm]f(x)\in (-a,a)[/mm] und für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt
> gleichzeitig: [mm]f_n(x)\not\in (-a,a)[/mm] was nicht geht, da wegen
> der gleichmäßigen konvergenz [mm]f_n[/mm] auch punktweise
> konvergent sein muss. es gilt also tatsächlich [mm]|f(x)\ge a[/mm]
> für alle [mm]x[/mm]. somit gilt auch [mm]|f(x)\cdot f_n(x)|>a^2[/mm] und
> [mm]\frac{1}{f(x)f_n(x)}<1/a^2[/mm]
Da hast Du beträge vergessen: [mm]\frac{1}{|f(x)f_n(x)|}<1/a^2[/mm]
Obiges geht einfacher: da aus der glm. Konvergenz die punktweise folgt, bekommt man für ein x [mm] \in \IR [/mm] aus
$ [mm] |f_n(x)|>a [/mm] $ für alle n
mit n [mm] \to \infty [/mm] die Ungl. $ |f(x)| [mm] \ge [/mm] a $ .
>
> nun zum eigentlichen beweis:
> sei [mm]\varepsilon >0[/mm] und [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] so, dass
> [mm]|f_n(x)-f(x)|
> [mm]x\in\mathbb{R}[/mm].
>
> Dann ist
> [mm]|\frac{1}{f_n(x)}-\frac{1}{f(x)}|=|\frac{f(x)-f_n(x)}{f(x)(f_n(x)}|=|\frac{1}{f_n(x)f(x)}|\cdot |f(x)-f_n(x)|
> für alle [mm]n\ge N[/mm] und alle x. also ist die folge gleichm.
> konvergent.
Sehr schön.
FRED
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> ist der beweis so richtig?
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> danke schonmal und bis bald!
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> lg
> flo
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