beweis stetigkeit Sinusfkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | zeigen sie, dass die Sinusfunktion stetig ist! |
huhu,
eine Aufgabe die ich mir selbst gestellt habe zur Klausurvorbereitung^^
f(x) = sin (x)
f : [- [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{2}] \to [/mm] [-1,1]
ich finde bei gleichm. Steitgkeit wo man ein Intervall hat bietet sich die Anwendung des MWS an:
z.z. : [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
gucke mir zunächst [mm] |f(x)-f(x_{0})| [/mm] an und versuche es in die Form [mm] |x-x_{0}| [/mm] zu bringen, also:
[mm] |sin(x)-sin(x_{0})| [/mm] ist nach MWS gleich mit [mm] |x-x_{0}| \* [/mm] f'(c) , wobei c [mm] \in [/mm] (- [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] ohne die Grenzen. Dann schätze ich ab:
[mm] |x-x_{0}| \* [/mm] f'(c) < [mm] |x-x_{0}| \* f'(\bruch{\pi}{2}) [/mm]
jetzt soll [mm] \delta [/mm] ja größer sein also forme ich äquivalent um:
[mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta\over1 [/mm] also setzte ich [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon, [/mm] dann
[mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
ist das so in Ordnung?
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woops hab vergessen abzuleiten, dann hätte ich ja [mm] \delta [/mm] über 0 hmm..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> zeigen sie, dass die Sinusfunktion stetig ist!
> huhu,
> eine Aufgabe die ich mir selbst gestellt habe zur
> Klausurvorbereitung^^
> f(x) = sin (x)
> f : [- [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] , [mm]\bruch{\pi}{2}] \to[/mm] [-1,1]
>
> ich finde bei gleichm. Steitgkeit wo man ein Intervall hat
> bietet sich die Anwendung des MWS an:
Wenn Du die gleichmäßige Stetigkeit zeigen willst, kannst Du es mit dem MWS probieren.
Wenn Du nur Stetigkeit zeigen willst, ist der MWS natürlich Quatsch, den für den MWS brauchst Du die Differenzierbarkeit von f !!!
>
> z.z. : [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] => [mm]|f(x)-f(x_{0})|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
Du meinst wohl: zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta>0 [/mm] mit: [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] => [mm]|f(x)-f(x_{0})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> gucke mir zunächst [mm]|f(x)-f(x_{0})|[/mm] an und versuche es in
> die Form [mm]|x-x_{0}|[/mm] zu bringen, also:
>
> [mm]|sin(x)-sin(x_{0})|[/mm] ist nach MWS gleich mit [mm]|x-x_{0}| \*[/mm]
> f'(c) ,
Nein. Richtig: [mm] $|sin(x)-sin(x_{0})|=|f'(c)|*|x-x_0|$
[/mm]
> wobei c [mm]\in[/mm] (- [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] , [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]
> ohne die Grenzen. Dann schätze ich ab:
>
> [mm]|x-x_{0}| \*[/mm] f'(c) < [mm]|x-x_{0}| \* f'(\bruch{\pi}{2})[/mm]
Auaaa ! Das tut weh !!!!
1. Wieder hast Du beträge verschlampert.
2. Die Abschätzung ist Unfug ! Es ist [mm] f'(\bruch{\pi}{2}= [/mm] 0
>
> jetzt soll [mm]\delta[/mm] ja größer sein also forme ich
> äquivalent um:
>
> [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta\over1[/mm] also setzte ich [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\varepsilon,[/mm] dann
>
> [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] => [mm]|f(x)-f(x_{0})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> ist das so in Ordnung?
Ansätze waren da.
Man kann das folgendermaßen verallgemeinern und (richtig !) beweisen:
Behauptung: Ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] , f:I [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar und f' auf I beschränkt, so ist f auf I Lipschitzstetig.
Versuch Dich mal am Beweis.
FRED
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hmm..
Lipschitz hat ich noch nicht, ich les grad bei wikipedia dass
[mm] |x-x_{0}| \* [/mm] L [mm] \ge |f(x)-f(x_{0})| [/mm]
ist. Wie komm ich auf eine konkrete Konstante?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> hmm..
>
> Lipschitz hat ich noch nicht, ich les grad bei wikipedia
> dass
>
> [mm]|x-x_{0}| \*[/mm] L [mm]\ge |f(x)-f(x_{0})|[/mm]
>
> ist. Wie komm ich auf eine konkrete Konstante?
Wir zeigen also:
Ist I ein Intervall in $ [mm] \IR [/mm] $ , f:I $ [mm] \to \IR [/mm] $ differenzierbar und f' auf I beschränkt, so ist f auf I Lipschitzstetig.
Beweis: es gibt ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit: $|f'(x)| [mm] \le [/mm] L$ für alle x [mm] \in [/mm] I. Sind nun x,y [mm] \in [/mm] I, so gibt es nach dem MWS ein c zwischen x und y , so das f(y)-f(x)=f'(c)(y-x). Es folgt:
$|f(y)-f(x)|= |f'c)|*|x-y| [mm] \le [/mm] L|x-y|$
FRED
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ah oki,
ich glaub demnach wäre [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{L} [/mm] . ist L immer unbestimmt? (also als Konstante angegeben, nie als Zahl)
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theoretisch sind doch
cos
arc sin
arc cos
tangens und arc tangens
auch alle beweisbar mit Lipschitz Konstante oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> theoretisch sind doch
>
> cos
> arc sin
> arc cos
> tangens und arc tangens
>
> auch alle beweisbar mit Lipschitz Konstante oder?
Was hatten wir: f differenzierbar und f' beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] f Lipschitzstetig.
Für f(x)=cos(x) sind die Vor. erfült. Ebenso bei f(x)= arctan(x)
Ist g(x):= arcsin(x) (x [mm] \in [/mm] [-1,1]), so ist g nur differenzierbar auf (-1,1) . g' ist dort nicht beschränkt !
FRED
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