bijektive Funktion in C < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Do 15.01.2009 | | Autor: | hackel87 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei T:= {z Element [mm]\IC[/mm]: -[mm]\pi[/mm] < Im z <= [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Zeigen Sie, dass exp: T --> [mm]\IC[/mm] \ {0} bijektiv ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
bei dieser Aufgabe bin ich soweit:
z.Z. exp: T-->C/{0} bijektiv
t Element T: t=a+ib , wobei a Element R
f(t)= [mm] e^t [/mm] = [mm] e^a+ib [/mm] = [mm] e^a*e^ib
[/mm]
sei nun [mm] r:=e^a
[/mm]
r*e^ib , wobei b Element (-[mm]\pi[/mm],[mm]\pi[/mm]]
Aber wie mache ich jetzt weiter?? Irgendwie stehe ich an der Stelle total auf dem Schlauch...
Bin jedem dankbar, der mir weiterhilft!
LG
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zur Surjektivität:
Sei [mm] w_0 \in [/mm] $ [mm] \IC [/mm] $ \ {0}. Nun schreib mal auf, wie die Logarithmen von [mm] w_0 [/mm] aussehen. Dann siehst leicht: unter diesen Logarithmen gibt es einen, nenne wir ihn [mm] z_0, [/mm] mit [mm] arg(z_0) \in (-\pi, \pi].
[/mm]
Damit ist [mm] z_0 \in [/mm] T und [mm] $e^{z_0} [/mm] = [mm] w_0$
[/mm]
Die Surjektivität ist also gezeigt.
Zur Injektivität:
Seien u,v [mm] \in [/mm] T und [mm] e^u=e^v. [/mm] Es fogt: [mm] e^{u-v}= [/mm] 1, also gibt es ein k [mm] \in \IZ [/mm] mit:
$2k [mm] \pi [/mm] i = u-v$. Folglich: $2k [mm] \pi [/mm] = Im(u)-Im(v)$.
Daher: $2|k| [mm] \pi [/mm] = |Im(u)-Im(v)|$ [mm] \le [/mm] $|Im(u)| + |Im(v)| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi$.
[/mm]
Wir haben also: k [mm] \in [/mm] { 0,1,-1 }
Annahme: k=1. Dann : $2 [mm] \pi [/mm] = Im(u)-Im(v)$, also $ Im(u) = Im(v) + 2 [mm] \pi$ [/mm] > [mm] $-\pi [/mm] +2 [mm] \pi [/mm] = [mm] \pi$, [/mm] Widerspruch !
Genauso zeigt man, dass der Fall k = -1 nicht eintreten kann. Also bleibt nur: k=0. Somit ist u=v.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Do 15.01.2009 | | Autor: | hackel87 |
Hi Fred,
zur Surjektivität:
Leider hatten wir noch kein ln in der Vorlesung - also dürfen wir sie leider nicht benutzen. Außerdem wüsste ich zur zeit auch nicht wie ich von einem w0 Logarithmen aufschreiben sollte...
Zur Inketivität:
Deine erste Folgerung verstehe ich nicht richtig. Wieso kann ich aus [mm] e^u^-^v [/mm] folgern, dass es ein k Element Z gibt?
Ich denke den Rest verstehe ich soweit und danke dir für deine Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi Fred,
>
> zur Surjektivität:
> Leider hatten wir noch kein ln in der Vorlesung - also
> dürfen wir sie leider nicht benutzen. Außerdem wüsste ich
> zur zeit auch nicht wie ich von einem w0 Logarithmen
> aufschreiben sollte...
Dann eben zu Fuß: Sei ein solches [mm] $w_0$ [/mm] gegeben. Zeige, dass es immer $a,b$ gibt mit
$ [mm] w_0 [/mm] =a [mm] e^{ib}$
[/mm]
> Zur Inketivität:
> Deine erste Folgerung verstehe ich nicht richtig. Wieso
> kann ich aus [mm]e^u^-^v[/mm] folgern, dass es ein k Element Z
> gibt?
Wegen der [mm] $2\pi [/mm] i$-Periodizität der Exponentialfunktion. Oder mit der Moivreformel:
$ [mm] e^{i*(x-y)} [/mm] = 1 [mm] \gdw \sin(x-y) [/mm] = 1 [mm] \text{ und } \cos(x-y)=0 [/mm] $.
Die Nullstellen des Cosinus sind $u-v= [mm] n*\pi$, [/mm] aber der Sinus ist nur 1 für geradzahlige n. Also ist
$ i*(x-y) = [mm] 2*k*\pi [/mm] $
Viele Grüße
Rainer
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