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Hallo,
ich habe eine n x n-1 Matrix A von der ich weiß, dass [mm] A^T*A [/mm] bijektiv ist. Kann ich jetzt irgendwie auf die Injektivität von A schließen? Wenn ja, wie?
Grüße Ned.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Gilga |
Ja. Wenn bereits A*x nicht mehr injektiv wäre kann ja [mm] A^T(A*x) [/mm] nicht wieder injektiv werden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja. Wenn bereits A*x nicht mehr injektiv wäre kann ja
> [mm]A^T(A*x)[/mm] nicht wieder injektiv werden
Mit Verlaub, aber was da oben steht ist unsinnig. A*x ist ein Vektor !!!!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 09.07.2009 | | Autor: | Gilga |
Vermutlich extrem prosa formuliert.
Es stimmt trotzdem.
Wenn Ax nicht injektiv => Es existiert a,b mit Ab=Aa=v
Also A*A*a=A*A*b und soomit auch AA nicht injektiv
(Das war jetzt auch nicht sehr formell, aber ich denke zu bekommst eine Idee was ich meine)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vermutlich extrem prosa formuliert.
> Es stimmt trotzdem.
Nein !
>
> Wenn Ax nicht injektiv
Nochmal: Ax ist keine Abbildung, sondern der Funktionswert an der Stelle x der Abb: z [mm] \to [/mm] Az
> => Es existiert a,b mit Ab=Aa=v
auch das ist nicht präzise ! Ist A nicht injektiv, so gibt es a und b mit:
Ab=Aa und a [mm] \not= [/mm] b
FRED
> Also A*A*a=A*A*b und soomit auch AA nicht injektiv
>
> (Das war jetzt auch nicht sehr formell, aber ich denke zu
> bekommst eine Idee was ich meine)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine n x n-1 Matrix A von der ich weiß, dass
> [mm]A^T*A[/mm] bijektiv ist. Kann ich jetzt irgendwie auf die
> Injektivität von A schließen? Wenn ja, wie?
Ist x [mm] \in [/mm] kern(A), also Ax = 0, so ist $A^TAx = 0$.
Wegen der Bijektivität von $A^TA$, folgt: x = 0
FRED
>
> Grüße Ned.
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