bilinear positive definit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mo 02.11.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Es seien $V$ ein [mm] $\IR-$Vektorraum [/mm] mit Basis $B = ( [mm] v_1,..,v_n)$ [/mm] und [mm] $\beta :V\times [/mm] V [mm] \to \IR$ [/mm] eine Bilinearform mit [mm] $\beta(v_i,v_j)=\begin{cases} 2 & \mbox{für } i=j \\ 1 & \mbox{für } |i-j|=1 \\ 0 &\mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
Man zeige,dass [mm] \beta [/mm] positiv definit ist. |
hey
meine frage ist,wie gehe da jetzt ran? wenn ich bei ner nxn matrix zeigen will das sie positiv definit ist, schau mir an ob die eigenwerte alle positiv sind,aber wie geht das bei bilinearformen?
liebe grüße
nkln:)
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Verwende die Bilinearität. [mm]x \in V[/mm] kann bezüglich [mm]B[/mm] eindeutig dargestellt werden:
[mm]x = \sum_{i=1}^n \xi_i v_i[/mm] mit geeigneten Skalaren [mm]\xi_i[/mm]
Dann zeige:
[mm]\beta(x,x) = \ldots = {\xi_1}^2 + \left( \xi_1 + \xi_2 \right)^2 + \ldots + \left( \xi_{n-1} + \xi_n \right)^2 + {\xi_n}^2[/mm]
Damit läßt sich die positive Definitheit leicht zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 02.11.2015 | | Autor: | nkln |
also wie gesagt angenommen $ x = [mm] \sum_{i=1}^n a_i v_i [/mm] $
[mm] $\beta(x,x)= \beta(\sum_{i=1}^n a_i v_i ,\sum_{i=1}^n a_i v_i [/mm] )= [mm] \sum_{i=1}^n\beta( a_i v_i ,a_i v_i [/mm] )= [mm] \sum_{i=1}^n a_i^2 \beta( v_i ,v_i [/mm] )$
da [mm] $\beta( v_i ,v_i [/mm] )$ also beide [mm] $v_i=v_i [/mm] $ ,insbesondere $i=i$ sind heißt das $ [mm] \beta( v_i ,v_i [/mm] )=2, [mm] \Rightarrow \beta(x,x)= \beta(\sum_{i=1}^n a_i v_i ,\sum_{i=1}^n a_i v_i [/mm] )= [mm] \sum_{i=1}^n\beta( a_i v_i ,a_i v_i [/mm] )= [mm] \sum_{i=1}^n a_i^2 \beta( v_i ,v_i [/mm] )= [mm] \sum_{i=1}^n a_i^2 [/mm] *2= [mm] 2*\sum_{i=1}^n a_i^2 [/mm] $ und das ist größer null. Aber wie kommt es ,dass das genügt ,um die positive definitheit zu zeigen? ..:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mo 02.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> also wie gesagt angenommen [mm]x = \sum_{i=1}^n a_i v_i[/mm]
>
> [mm]\beta(x,x)= \beta(\sum_{i=1}^n a_i v_i ,\sum_{i=1}^n a_i v_i )= \sum_{i=1}^n\beta( a_i v_i ,a_i v_i )= \sum_{i=1}^n a_i^2 \beta( v_i ,v_i )[/mm]
Das zweite Gleichheitszeichen ist falsch
Fred
>
> da [mm]\beta( v_i ,v_i )[/mm] also beide [mm]v_i=v_i[/mm] ,insbesondere [mm]i=i[/mm]
> sind heißt das [mm]\beta( v_i ,v_i )=2, \Rightarrow \beta(x,x)= \beta(\sum_{i=1}^n a_i v_i ,\sum_{i=1}^n a_i v_i )= \sum_{i=1}^n\beta( a_i v_i ,a_i v_i )= \sum_{i=1}^n a_i^2 \beta( v_i ,v_i )= \sum_{i=1}^n a_i^2 *2= 2*\sum_{i=1}^n a_i^2[/mm]
> und das ist größer null. Aber wie kommt es ,dass das
> genügt ,um die positive definitheit zu zeigen? ..:/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 02.11.2015 | | Autor: | nkln |
ich krieg das nicht hin mit dem zweiten gleichheits zeichen.
ich nutzte die lineare in der 1.komponente $ [mm] \beta(x,x)= \beta(\sum_{i=1}^n a_i v_i [/mm] ,x)= [mm] \sum_{i=1}^n\beta(a_i v_i [/mm] ,x)$, wenn das falsch sein sollte,ich weis,dass die definition ist [mm] $= + [/mm] $, aber ich weis nicht, wie ich das sonst darstellen soll,als wie dort oben.
jetzt lineare 2 komponente
$ [mm] \beta(x,x)= \beta(\sum_{i=1}^n a_i v_i [/mm] ,x)= [mm] \sum_{i=1}^n\beta(a_i v_i ,x)=\sum_{i=1}^n\beta(a_i v_i ,\sum_{i=1}^n a_i v_i )=\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n\beta(a_i v_i ,a_i v_i [/mm] )$, ist das so richtig?..:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mo 02.11.2015 | | Autor: | statler |
Hallo,
versuch doch mal, deine Schreibweise mit dem großen Sigma in die (unter mathematischen Puristen verpönte) Schreibweise mit Punkten für den weggelassenen Teil umzuschreiben.
Und denk daran: Innerhalb eines Terms hat i immer den gleichen Wert, also i ist i, auch wenn es mehrmals auftaucht.
Na, fällt dir was auf?
Fred ist ein ganz konsequenter Anhänger der binären Logik: Was nicht (völlig) richtig ist, ist falsch.
Gruß aus HH
Dieter
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Wenn man eine Infix-Notation verwendet, also zum Beispiel [mm]x \Diamond y[/mm] statt [mm]\beta(x,y)[/mm] schreibt, und diese als Produkt auffaßt, dann wird einem klar, daß die Bilinearität der Distributivität entspricht, zum Beispiel, erst ausführlich:
[mm](x_1+x_2+x_3) \Diamond (y_1+y_2) = x_1 \Diamond y_1 + x_1 \Diamond y_2 + x_2 \Diamond y_1 + x_2 \Diamond y_2 + x_3 \Diamond y_1 + x_3 \Diamond y_2[/mm]
Oder kürzer mit dem Summenzeichen:
[mm]\left( \sum_{i=1}^3 x_i \right) \Diamond \left( \sum_{j=1}^2 y_j \right) = \sum_{i,j} x_i \Diamond y_j[/mm]
In der letzten Summe läuft [mm]i[/mm] von 1 bis 3 und [mm]j[/mm] von 1 bis 2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 03.11.2015 | | Autor: | nkln |
hallo,
ich hab das heute mal in der uni aus gerechnet. Ich habe mir auch das zu mal eine Gram matrix gemalt und fest gestellt ,dass auf der Hauptdiagonalen nur 2en sind, auf den neben diagonalen nur -1 bzw. 0 je nach Fall.Also 1 Diagonale mit 2 und 2 Diagonalen mit -1.
Hier haben wir ja $x [mm] \in [/mm] V .$ mit [mm] $x=\summe_{i=1}^{n} a_iv_i$
[/mm]
[mm] $\beta(x,x)=\beta(\summe_{i=1}^{n} a_iv_i,x)= \beta(a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n,x)= \beta(a_1v_1,x)+\beta(a_2v_2,x)+....+\beta(a_nv_n,x).$ [/mm] Das war die linearität der ersten Komponente. Jetzt die $2. $
[mm] $\beta(x,x)=\beta(\summe_{i=1}^{n} a_iv_i,x)= \beta(a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n,x)= \beta(a_1v_1,x)+\beta(a_2v_2,x)+....+\beta(a_nv_n,x)=\beta(a_1v_1,\summe_{i=1}^{n} a_iv_i)+\beta(a_2v_2,\summe_{i=1}^{n} a_iv_i)+....+\beta(a_nv_n,\summe_{i=1}^{n} a_iv_i)=\beta(a_1v_1,a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n)+\beta(a_2v_2,a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n)+....+\beta(a_nv_n,a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n)=\beta(a_1v_1,a_1v_1)+\beta(a_1v_1,a_2v_2)+...+\beta(a_1v_1,a_nv_n)+.....+\beta(a_nv_n,a_1v_1)+...+\beta(a_nv_n,a_nv_n)$
[/mm]
jetzt multiplikation linearität in der 1.komponente
[mm] $=a_1*(\beta(v_1,a_1v_1)+\beta(v_1,a_2v_2)+...+\beta(v_1,a_nv_n))+.....+a_n*(\beta(v_n,a_1v_1)+...+\beta(v_n,a_nv_n))$
[/mm]
jetzt multi.lin. 2 komponente
[mm] $=a_1*(a_1*\beta(v_1,v_1)+a_2*\beta(v_1,v_2)+...+a_n*\beta(v_1,v_n))+.....+a_n*(a_1*\beta(v_n,v_1)+...+a_n*\beta(v_n,v_n))$
[/mm]
ist das richtig bisher?
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Ich habe jetzt nicht jede deiner überlangen Zeilen überprüft.
Es scheint mir aber richtig zu sein. Ich finde es auch gar nicht übel,
wenn man das einmal in seinem Leben in der Pünktchenschreibweise
ausgeführt hat. Dann versteht man auch, warum man das Ergebnis
mit dem Summenzeichen so aufschreiben kann:
[mm]\beta(x,x) = \beta \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \, , \, \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j \right) = \sum_{i,j=1}^n \alpha_i \alpha_j \beta(v_i,v_j)[/mm]
Beachte, daß man die Indizes [mm]i,j[/mm] unterscheiden muß.
Nach dem ersten Gleichheitszeichen wäre das noch nicht erforderlich
gewesen, nach dem zweiten aber geht es nicht mehr ohne.
P.S. Warum stehen in der Gramschen Matrix -1en? Ich dachte,
da stehen 1en (siehe deinen ersten Beitrag).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Di 03.11.2015 | | Autor: | nkln |
da sollte eine $-1$ stehen , ich glaube da ist mir das minus abhanden gekommen,aber was sagt mir jetzt das ganze? ich verstehe nicht,wie ich die gwünschte Aussagen sage ,damit beweisen kann und warum wir 2x den gleichen Vektor x nehmen?
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Ich hatte dir schon einen Hinweis gegeben, worauf du hinarbeiten sollst. Glücklicherweise läßt sich die Idee retten, obwohl es jetzt plötzlich -1 statt 1 heißen soll. (Solche nachträglichen Änderungen sind sonst höchst ärgerlich ...)
Da du meine hübschen [mm]\xi[/mm] zu [mm]\alpha[/mm] degradiert hast, lautet der Hinweis:
[mm]\beta(x,x) = \ldots = {\alpha_1}^2 + \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 + \ldots + \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 + {\alpha_n}^2[/mm]
Am besten gehst du von der Summe [mm]\sum_{i,j=1}^n \alpha_i \alpha_j \beta(v_i,v_j)[/mm] aus und kategorisierst die Summanden nach folgenden Typen
Typ I: [mm]i=j[/mm]
Typ II: [mm]j=i+1[/mm] oder [mm]i=j+1[/mm]
Typ III: alle andern
Die Summanden vom Typ III sind alle 0, also weg damit. Bleiben also noch die Summanden vom Typ I und Typ II.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Di 03.11.2015 | | Autor: | nkln |
also es gibt $n$ summanden ,wo $i=j $ ist und $2(n-2)$ summanden bei denen $ i=j+1$ ist oder?
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Ja, aber die reine Anzahl der Summanden nützt nichts. Du mußt die Summanden selbst betrachten.
Summand vom Typ I ([mm]i=j[/mm]):
[mm]\alpha_i \alpha_i \beta(v_i,v_i) = 2 {\alpha_i}^2[/mm]
Summanden vom Typ II ([mm]j=i+1[/mm] oder [mm]i=j+1[/mm]):
Hier faßt man die Summanden mit dem Indexpaar [mm]i,i+1[/mm] und dem Indexpaar [mm]i+1,i[/mm] zusammen:
[mm]\alpha_{i} \alpha_{i+1} \beta(v_i,v_{i+1}) + \alpha_{i+1} \alpha_i \beta(v_{i+1},v_i) = -2 \alpha_i \alpha_{i+1}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 03.11.2015 | | Autor: | nkln |
$ [mm] \alpha_i \alpha_i \beta(v_i,v_i) [/mm] = [mm] 2\alpha_{i}^2 [/mm] $ und $ [mm] \alpha_{i} \alpha_{i+1} \beta(v_i,v_{i+1}) [/mm] + [mm] \alpha_{i+1} \alpha_i \beta(v_{i+1},v_i) [/mm] = -2 [mm] \alpha_i \alpha_{i+1} [/mm] $ damit kann ich die summe darstellen als $ [mm] \sum_{i,j=1}^n \alpha_i \alpha_j \beta(v_i,v_j)= {\alpha_1}^2+{\alpha_1}^2-2 \alpha_1 \alpha_{2}+{\alpha_2}^2+{\alpha_2}^2 [/mm] $ dann mit binomischer formel
$ [mm] \sum_{i,j=1}^n \alpha_i \alpha_j \beta(v_i,v_j)= {\alpha_1}^2+{\alpha_1}^2-2 \alpha_1 \alpha_{2}+{\alpha_2}^2+{\alpha_2}^2 ={\alpha_1}^2+( \alpha_1-\alpha_2)^2+....+( \alpha_{n-1}\alpha_n)^2$
[/mm]
da alle Klammern quadratische sind ,gibt es keine negative zahl daraus folgt ,dass die Bilinearform positiv definit ist .Daraus folgt wider ,dass die Behauptung gezeigt worde,oder?
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Da steht Richtiges und Falsches. In der Mathematik heißt das aber: falsch.
Einerseits laufen deine Summen bis [mm]n[/mm], andererseits nur bis 2. Was gilt nun?
Vielleicht lohnt es sich, einmal einen überschaubaren Fall vollständig anzuschreiben. Nehmen wir [mm]n=3[/mm]:
[mm]\sum_{i,j=1}^3 \alpha_i \alpha_j \beta(v_i,v_j) = \underbrace{{\alpha_1}^2 \beta(v_1,v_1)}_{\text{Typ I}} + \underbrace{\alpha_1 \alpha_2 \beta(v_1,v_2)}_{\text{Typ II}} + \underbrace{\alpha_1 \alpha_3 \beta(v_1,v_3)}_{\text{Typ III}} + \underbrace{\alpha_2 \alpha_1 \beta(v_2,v_1)}_{\text{Typ II}} + \underbrace{{\alpha_2}^2 \beta(v_2,v_2)}_{\text{Typ I}} + \underbrace{\alpha_2 \alpha_3 \beta(v_2,v_3)}_{\text{Typ II}} + \underbrace{\alpha_3 \alpha_1 \beta(v_3,v_1)}_{\text{Typ III}} + \underbrace{\alpha_3 \alpha_2 \beta(v_3,v_2)}_{\text{Typ II}} + \underbrace{{\alpha_3}^2 \beta(v_3,v_3)}_{\text{Typ I}}[/mm]
[mm]= \underbrace{2 {\alpha_1}^2 + 2 {\alpha_2}^2 + 2 {\alpha_3}^2}_{\text{alle vom Typ I}} + \underbrace{\left( - \alpha_1 \alpha_2 - \alpha_2 \alpha_1 \right) + \left( - \alpha_2 \alpha_3 - \alpha_3 \alpha_2 \right)}_{\text{alle vom Typ II}} = 2 {\alpha_1}^2 + 2 {\alpha_2}^2 + 2 {\alpha_3}^2 - 2 \alpha_1 \alpha_2 - 2 \alpha_2 \alpha_3[/mm]
Und jetzt bringe den letzten Term auf die von mir schon mehrfach vorgeschlagene Gestalt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Di 03.11.2015 | | Autor: | nkln |
$ = [mm] \underbrace{2 {\alpha_1}^2 + 2 {\alpha_2}^2 + 2 {\alpha_3}^2}_{\text{alle vom Typ I}} [/mm] + [mm] \underbrace{\left( - \alpha_1 \alpha_2 - \alpha_2 \alpha_1 \right) + \left( - \alpha_2 \alpha_3 - \alpha_3 \alpha_2 \right)}_{\text{alle vom Typ II}} [/mm] = 2 [mm] {\alpha_1}^2 [/mm] + 2 [mm] {\alpha_2}^2 [/mm] + 2 [mm] {\alpha_3}^2 [/mm] - 2 [mm] \alpha_1 \alpha_2 [/mm] - 2 [mm] \alpha_2 \alpha_3 =\alpha_1^2+\alpha_1^2- [/mm] 2 [mm] \alpha_1 \alpha_2+{\alpha_2}^2 +{\alpha_2}^2 [/mm] - 2 [mm] \alpha_2 \alpha_3+\alpha_3^2+...+ \alpha_{n-1}^2-2 \alpha_{n-1}\alpha_n +\alpha_n^2+\alpha_n^2=\alpha_1^2+(\alpha_1-\alpha_2)^2+(\alpha_2-\alpha_3)^2+...+(\alpha_{n-1}-\alpha_n)^2+\alpha_n^2$
[/mm]
jetzt muss das doch mit der definitheit stimmen oder?
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Ich wundere mich immer wieder, mit welcher Kühnheit du den Spezialfall (hier [mm]n=3[/mm]) mit dem allgemeinen Fall in einer Zeile durch ein Gleichheitszeichen verbindest. Aber davon abgesehen, ist dein letzter Term korrekt. Schreibe wir es also auch insgesamt korrekt auf:
[mm]\beta(x,x) = {\alpha_1}^2 + \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 + \ldots + \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 + {\alpha_n}^2[/mm]
Und jetzt kannst du mit dieser Formel relativ leicht die positive Definitheit zeigen. Zunächst mußt du begründen, warum stets [mm]\beta(x,x) \geq 0[/mm] ist. Das sollte aufgrund der obigen Darstellung kein Problem sein. Als zweites mußt du begründen, warum aus [mm]\beta(x,x) = 0[/mm] folgt: [mm]x = 0[/mm]. Auch dafür kannst du die obige Beziehung verwenden. Wie würdest du argumentieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
Hey leopold,
sorry,wenn ich den Spezialfall so linksliegen gelassen habe. Ich möchte dir außerdem noch sehr für deine Hilfe danken,weil ich finde ,dass es unfassbar nett ist ,wie du mir hilfst:)
1. Du hast geschrieben ,dass ich zeigen muss ,das [mm] $\beta(x,x)\ge [/mm] 0$ ist, aber muss [mm] $\beta(x,x)> [/mm] 0$ sein,weil es ja sonst semi-positivdefinit wäre. Ich hab das hier nachgeschaut(" https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit ").
1.Fall
[mm] $\beta(x,x) \ge [/mm] 0,$ da wir dort ,$ [mm] \beta(x,x) [/mm] = [mm] {\alpha_1}^2 [/mm] + [mm] \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 [/mm] + [mm] {\alpha_n}^2 [/mm] $, eine Summe von Quadraten haben und Quadrate immer größer gleich null sind, [mm] $\forall a_1,..,a_n \in [/mm] K$
2.Fall
[mm] $\beta(x,x) [/mm] = 0 [mm] \gdw 0={\alpha_1}^2 [/mm] + [mm] \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 [/mm] + [mm] {\alpha_n}^2 [/mm] $ daraus folgt ,dass alle [mm] $\alpha$'s [/mm] null sein müssen , wenn jetzt alle [mm] $\alpha$'s [/mm] wirklich $0$ sind dann folgt daraus, dass $ x = [mm] \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n 0*v_i= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0$.
Bei dem 1.Fall bin ich mir ziemlich sicher,beim 2.Fall hab ich meine Bedenken,aber ich glaube auch,dass dieser richtig ist:)
danke für jedliche Hilfe!:)))
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 04.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hey leopold,
>
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> sorry,wenn ich den Spezialfall so linksliegen gelassen
> habe. Ich möchte dir außerdem noch sehr für deine Hilfe
> danken,weil ich finde ,dass es unfassbar nett ist ,wie du
> mir hilfst:)
>
>
> 1. Du hast geschrieben ,dass ich zeigen muss ,das
> [mm]\beta(x,x)\ge 0[/mm] ist, aber muss [mm]\beta(x,x)> 0[/mm] sein,weil es
> ja sonst semi-positivdefinit wäre. Ich hab das hier
> nachgeschaut(" https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit
> ").
>
>
> 1.Fall
>
> [mm]\beta(x,x) \ge 0,[/mm] da wir dort ,[mm] \beta(x,x) = {\alpha_1}^2 + \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 + \ldots + \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 + {\alpha_n}^2 [/mm],
> eine Summe von Quadraten haben und Quadrate immer größer
> gleich null sind, [mm]\forall a_1,..,a_n \in K[/mm]
>
>
> 2.Fall
>
> [mm]\beta(x,x) = 0 \gdw 0={\alpha_1}^2 + \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 + \ldots + \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 + {\alpha_n}^2[/mm]
> daraus folgt ,dass alle [mm]\alpha[/mm]'s null sein müssen , wenn
> jetzt alle [mm]\alpha[/mm]'s wirklich [mm]0[/mm] sind dann folgt daraus,
> dass [mm]x = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = \sum_{i=1}^n 0*v_i= 0 \Rightarrow x=0[/mm].
>
> Bei dem 1.Fall bin ich mir ziemlich sicher,beim 2.Fall hab
> ich meine Bedenken,aber ich glaube auch,dass dieser richtig
Er ist richtig, aber etwas kurz
Aus
[mm] 0={\alpha_1}^2 [/mm] + [mm] \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 [/mm] + [mm] {\alpha_n}^2
[/mm]
folgt zunächst:
[mm] \alpha_1=0, \alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2=...=\alpha_{n-1} [/mm] - [mm] \alpha_n [/mm] =0 und [mm] \alpha_n=0
[/mm]
Jetzt solltest Du noch kurz begründen, warum alle [mm] \alpha_j=0 [/mm] sind.
FRED
> ist:)
>
> danke für jedliche Hilfe!:)))
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
Guten Morgen,
"Jetzt solltest Du noch kurz begründen, warum alle $ [mm] \alpha_j=0 [/mm] $ sind. "
Aus
$ [mm] 0={\alpha_1}^2 [/mm] $ + $ [mm] \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 [/mm] $ + $ [mm] \ldots [/mm] $ + $ [mm] \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 [/mm] $ + $ [mm] {\alpha_n}^2 [/mm] $
folgt zunächst:
$ [mm] \alpha_1=0, \alpha_1 [/mm] $ - $ [mm] \alpha_2=...=\alpha_{n-1} [/mm] $ - $ [mm] \alpha_n [/mm] $ =0 und $ [mm] \alpha_n=0 [/mm] $
außerdem sind die die anderen [mm] \alpha's [/mm] gleich null,weil $ x = [mm] \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n 0\cdot{}v_i= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 $ sein muss,ich weiß nicht ,wie's sonst erklären soll..:/
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Wenn du das, was du als 2. Fall bezeichnet hast, gezeigt hast, hast du ja automatisch [mm]\beta(x,x)>0[/mm] für [mm]x \neq 0[/mm].
Zum 2. Fall:
Ist dir klar, warum das so folgt, wie fred97 es geschrieben hat? (Es ist nicht schwer, dennoch sollte der Grund kurz angegeben werden.)
Letztlich ist das gesamte Problem jetzt auf ein lineares Gleichungssystem mit den [mm]\alpha_i[/mm] als den Unbekannten zurückgeführt:
[mm]\text{(1)} \ \ \alpha_1 = 0[/mm]
[mm]\text{(2)} \ \ \alpha_1 - \alpha_2 = 0[/mm]
[mm]\text{(3)} \ \ \alpha_2 - \alpha_3 = 0[/mm]
...
[mm]\text{(n)} \ \ \alpha_{n-1} - \alpha_n = 0[/mm]
[mm]\text{(n+1)} \ \ \alpha_n = 0[/mm]
Das läßt sich ja leicht von oben nach unten durch Auflösen und Einsetzen lösen. Und glücklicherweise (oder wie zu erwarten) widerspricht die letzte Gleichung nicht den übrigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
also, zum zweck der Gründlichkeit möchte ich die Aufgabe so aufschreiben,dass ich sie korrekt und formal richtig abgeben kann.
z.Z:
Es seien $ V $ ein $ [mm] \IR- [/mm] $Vektorraum mit Basis $ B = ( [mm] v_1,..,v_n) [/mm] $ und $ [mm] \beta :V\times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] $ eine Bilinearform mit $ [mm] \beta(v_i,v_j)=\begin{cases} 2 & \mbox{für } i=j \\ -1 & \mbox{für } |i-j|=1 \\ 0 &\mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $
Man zeige,dass $ [mm] \beta [/mm] $ positiv definit ist.
Bew.:
Sei $x [mm] \in [/mm] V$ ein beliebiger Vektor,dann kann dieser Vektor $x = [mm] \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i [/mm] $ als Linearkombination von der Basis $ B = ( [mm] v_1,..,v_n) [/mm] $ dargestellt werden.
Man setzt jetzt den Vektor $x$ in die 1. und 2.Komponente der Bilinearform ein und nutzt dann direkt die Linearität in der 1.Komponente.
$ [mm] \beta(x,x)=\beta(\summe_{i=1}^{n} a_iv_i,x)= \beta(a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n,x)= \beta(a_1v_1,x)+\beta(a_2v_2,x)+....+\beta(a_nv_n,x). [/mm] $
Jetzt nutze ich die Linearität der 2.Komponente aus
[mm] $\beta(x,x)=\beta(\summe_{i=1}^{n} a_iv_i,x)
[/mm]
= [mm] \beta(a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n,x)
[/mm]
= [mm] \beta(a_1v_1,x)+\beta(a_2v_2,x)+....+\beta(a_nv_n,x)
[/mm]
[mm] =\beta(a_1v_1,\summe_{i=1}^{n} a_iv_i)+\beta(a_2v_2,\summe_{i=1}^{n} a_iv_i)+....+\beta(a_nv_n,\summe_{i=1}^{n} a_iv_i)
[/mm]
[mm] =\beta(a_1v_1,a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n)+\beta(a_2v_2,a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n)+....+\beta(a_nv_n,a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n)
[/mm]
[mm] =\beta(a_1v_1,a_1v_1)+\beta(a_1v_1,a_2v_2)+...+\beta(a_1v_1,a_nv_n)+.....+\beta(a_nv_n,a_1v_1)+...+\beta(a_nv_n,a_nv_n)$
[/mm]
jetzt multiplikation linearität in der 1.komponente
$ [mm] =a_1\cdot{}(\beta(v_1,a_1v_1)+\beta(v_1,a_2v_2)+...+\beta(v_1,a_nv_n))+.....+a_n\cdot{}(\beta(v_n,a_1v_1)+...+\beta(v_n,a_nv_n)) [/mm] $
jetzt multi.lin. 2 komponente
$ [mm] =a_1\cdot{}(a_1\cdot{}\beta(v_1,v_1)+a_2\cdot{}\beta(v_1,v_2)+...+a_n\cdot{}\beta(v_1,v_n))+.....+a_n\cdot{}(a_1\cdot{}\beta(v_n,v_1)+...+a_n\cdot{}\beta(v_n,v_n)) [/mm] $
durch das ausführliche Ausrechnen der Terme kann ich jetzt direkt darauf schließen,dass
$ [mm] \beta(x,x) [/mm] = [mm] \beta \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \, , \, \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j \right) [/mm] = [mm] \sum_{i,j=1}^n \alpha_i \alpha_j \beta(v_i,v_j) [/mm] $
Nun schaue ich mir zur weitern Überlegung die drei Fälle an wie hier Definiert sind
$ [mm] \beta(v_i,v_j)=\begin{cases} 2 & \mbox{für } i=j \\ -1 & \mbox{für } |i-j|=1 \\ 0 &\mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $
$Typ 1 : 2$ falls $ i=j$
$Typ 2 : -1$ falls $i+1=j$ oder $j+1=i$
$Typ 3 : 0$ sonst
hierzu mache ich eine Vorüberlegung auf den Fall $n=3$ herunter gebrochen
$n=3 $
$ [mm] \sum_{i,j=1}^3 \alpha_i \alpha_j \beta(v_i,v_j) [/mm] = [mm] \underbrace{{\alpha_1}^2 \beta(v_1,v_1)}_{\text{Typ I}} [/mm] + [mm] \underbrace{\alpha_1 \alpha_2 \beta(v_1,v_2)}_{\text{Typ II}} [/mm] + [mm] \underbrace{\alpha_1 \alpha_3 \beta(v_1,v_3)}_{\text{Typ III}} [/mm] + [mm] \underbrace{\alpha_2 \alpha_1 \beta(v_2,v_1)}_{\text{Typ II}} [/mm] + [mm] \underbrace{{\alpha_2}^2 \beta(v_2,v_2)}_{\text{Typ I}} [/mm] + [mm] \underbrace{\alpha_2 \alpha_3 \beta(v_2,v_3)}_{\text{Typ II}} [/mm] + [mm] \underbrace{\alpha_3 \alpha_1 \beta(v_3,v_1)}_{\text{Typ III}} [/mm] + [mm] \underbrace{\alpha_3 \alpha_2 \beta(v_3,v_2)}_{\text{Typ II}} [/mm] + [mm] \underbrace{{\alpha_3}^2 \beta(v_3,v_3)}_{\text{Typ I}} [/mm] $
$ = [mm] \underbrace{2 {\alpha_1}^2 + 2 {\alpha_2}^2 + 2 {\alpha_3}^2}_{\text{alle vom Typ I}} [/mm] + [mm] \underbrace{\left( - \alpha_1 \alpha_2 - \alpha_2 \alpha_1 \right) + \left( - \alpha_2 \alpha_3 - \alpha_3 \alpha_2 \right)}_{\text{alle vom Typ II}} [/mm] = 2 [mm] {\alpha_1}^2 [/mm] - 2 [mm] \alpha_1 \alpha_2 [/mm] + 2 [mm] {\alpha_2}^2 [/mm] - 2 [mm] \alpha_2 \alpha_3 [/mm] + 2 [mm] {\alpha_3}^2 [/mm] $
Dies kann man jetzt noch weiter vereinfach mit der Binomischen formel zu
$= 2 [mm] {\alpha_1}^2 [/mm] - 2 [mm] \alpha_1 \alpha_2 [/mm] + 2 [mm] {\alpha_2}^2 [/mm] - 2 [mm] \alpha_2 \alpha_3 [/mm] + 2 [mm] {\alpha_3}^2 ={\alpha_1}^2+{\alpha_1}^2-2\alpha_1 \alpha_2 [/mm] + [mm] {\alpha_2}^2+{\alpha_2}^2-2 \alpha_2 \alpha_3+{\alpha_3}^2+{\alpha_3}^2 [/mm] = [mm] {\alpha_1}^2+({\alpha_1}-{\alpha_2})^2+({\alpha_2}-{\alpha_3})^2+{\alpha_3}^2$
[/mm]
jetzt für den Allgemeinen Fall:
$ [mm] \beta(x,x) =\beta \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \, , \, \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j \right) [/mm] = [mm] \sum_{i,j=1}^n \alpha_i \alpha_j \beta(v_i,v_j) [/mm] = [mm] {\alpha_1}^2 [/mm] + [mm] \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 [/mm] + [mm] {\alpha_n}^2 [/mm] $
jetzt werde ich außerdem zeigen dass $ [mm] \beta(x,x)\ge [/mm] 0$ ,weil leicht einsichtig ist,da es überall Quadrate sind und Quardate immer größer gleich null sind, [mm] $x^2 \ge [/mm] 0, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K $.
Zur positiven Definitheit gehört jedoch,dass [mm] \beta(x,x)>0 [/mm] ist.
Beweis per Widerspruch:
[mm] $0=\beta(x,x)={\alpha_1}^2 [/mm] + [mm] \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 [/mm] + [mm] {\alpha_n}^2 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \alpha_1=0,\alpha_n=0, \alpha_1-\alpha_2=.....=\alpha_{n-1} [/mm] - [mm] \alpha_n=0$
[/mm]
Diese Folgerung ist begründet darauf,dass man die Vorherigen Werte ein setzen kann und alles bis zum [mm] $\alpha_n$ [/mm] im $n+1$ auflösen kann.
Beispiel zur Veranschaulichung [mm] $\alpha_1=0 \Rightarrow \alpha_1-\alpha_2=0 \gdw 0-\alpha_2=0 \Rightarrow \alpha_2=0 \Rightarrow ....\Rightarrow \alpha_n=0$
[/mm]
Daraus folgt das [mm] \beta(x,x)>0 [/mm] wenn x [mm] \neq [/mm] 0 und damit ist die positive definit heit gezeigt.
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Frage $:1.$
Ab " Daraus folgt bin ich mir nicht mehr sicher,ob man einfach zu die Schlussfolgerung ziehen kann und so argumentieren kann oder ob da nochwas dazu gehört"
Frage $:2.$ wenn wir sagen [mm] $\beta(x,x)$ [/mm] wird da $2$-mal der gleiche Vektor eingesetzt?
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Ein paar Holprigkeiten im Stil, ansonsten ist es gut dargestellt.
Hier muß etwas ergänzt werden:
"Zur positiven Definitheit gehört jedoch, dass [mm]\beta(x,x)>0[/mm] ist für [mm]\color{red} x \neq 0[/mm]."
Der Satz "Diese Folgerung ist begründet darauf ..." ist an dieser Stelle nicht sinnvoll. Im übrigen ist er sehr ungeschliffen. Es fehlt noch ein Argument, warum aus [mm]{\alpha_1}^2 + \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 + \ldots + \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 + {\alpha_n}^2 = 0[/mm] folgt: [mm]\alpha_1 = 0 \, , \ \alpha_1 - \alpha_2 = 0[/mm] usw.
Mich beschleicht ein bißchen das Gefühl, daß du nicht ganz sicher weißt, was eine Folgerung, eine Begründung usw. ist. Diese Fachbegriffe werden von dir sehr unscharf verwendet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
ok,
ich sehe gerade selbst,dass der von dir zitierte Satz ,auch 'nen bisschen blöd formuliert ist.
Also ich habe $ [mm] {\alpha_1}^2 [/mm] + [mm] \left( \alpha_1 - \alpha_2 \right)^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \left( \alpha_{n-1} - \alpha_n \right)^2 [/mm] + [mm] {\alpha_n}^2 [/mm] = 0 $ ,dann mache ich ,wie du vorgeschlagen hast , ein Gleichungsystem daraus.
$ [mm] \text{(1)} [/mm] \ \ [mm] \alpha_1 [/mm] = 0 $
$ [mm] \text{(2)} [/mm] \ \ [mm] \alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2 [/mm] = 0 $
$ [mm] \text{(3)} [/mm] \ \ [mm] \alpha_2 [/mm] - [mm] \alpha_3 [/mm] = 0 $
...
$ [mm] \text{(n)} [/mm] \ \ [mm] \alpha_{n-1} [/mm] - [mm] \alpha_n [/mm] = 0 $
$ [mm] \text{(n+1)} [/mm] \ \ [mm] \alpha_n [/mm] = 0 $
daraus resultutiert doch ,dass [mm] $\alpha_1 [/mm] = 0 $ .Dieses Ergebnis setzte ich jetzt in die 2.Gleichung ein,dann habe ich [mm] $\alpha_2 [/mm] = 0 $ usw. bis ich zur $n+1$. Gleichung angekommen bin und diese verarbeitet habe.
und daraus folgt doch jetzt,dass $ [mm] \alpha_1 [/mm] = 0 [mm] \, [/mm] , \ [mm] \alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2 [/mm] = 0 $ usw. ist oder bin ich jetzt falsch?
Das würde ja heißen ,dass $0= [mm] \sum_{i=1}^{n} 0v_i [/mm] $ ist.Daraus schließe ich,dass [mm] $\beta(x,x)=0 [/mm] $ ist ,wenn $x=0 $ ist.
Sollte das immer noch nicht ausreichen,tut's mir wirklich leid,ich will hier keinen ärgern oder seine/ihre Zeitrauben ,ich habe gerade etwas ein Brett vorm Kopf und möchte keinen verägern durch Fehler.
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Immer noch fehlt mir das Argument, wie du von der Einzelgleichung auf das lineare Gleichungssystem kommst. Ich habe das jetzt schon mehrfach angesprochen. Aber begründet hast du es bisher nicht.
Wie man vom linearen Gleichungssystem auf [mm]\alpha_1 = 0 \, , \ \alpha_2 = 0[/mm] usw. kommt, das ist längst geklärt. Allerdings irritiert mich auch da, warum du [mm] \alpha_1 = 0 \, , \ \alpha_1 - \alpha_2 = 0[/mm] usw. als Lösung angibst. Ich hoffe, das ist ein Schreibfehler.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
ich habe keine Ahnung,ich komme einfach zur Hölle nicht drauf..:(
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Es ist gar nicht weiter schwer. Nur erwähnt werden sollte es.
In den reellen Zahlen kann eine Summe von Quadraten nur dann 0 sein, wenn jedes Quadrat selbst 0 ist. (Da Quadrate niemals negativ sind, ist eine Summe von Quadraten bereits positiv, wenn auch nur ein Quadrat von 0 verschieden ist).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Mi 04.11.2015 | | Autor: | nkln |
okay vielen dank... und damit stimmt die rest liche argumentation
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