bilinearform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
kann mir jmd bitte weiterhelfen.
ich habe eine Fkt habe f(x,y,z) : [mm] R^3--> [/mm] R und suche die Darstellungsform : f = [mm] \vektor{x \\ y \\ z}^T*A*\vektor{x \\ y\\ z}
[/mm]
mit einer 3x3 Matrix.
Gibt es da ein Algo wie man so eine Matrix aufstellt?
wäre echt cool wenn ich das herausfinden würde :)
danke lg
|
|
| |
|
Hallo!
ich denke, daß die Matrix nicht eindeutig ist. Das beste wird sein, du rechnest mal deinen allgemeinen Ausdruck aus, und machst dann einen Koeffizientenvergleich.
Beispielsweise, wenn die Matrix die Elemente a, b, c, d zeilenweise enthält, kommt f=ax²+(b+c)xy+dy² heraus. a und b sind eindeutig, b und c allerdings nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
okay auch wenns nicht eindeutig ist, wie kann ich mir dann sowas prinzipiell überlegen:
bsp. f= xy+yz+zx
da ist die Matrix A eine matrix die überall ein 1/2 hat auser auf der hauptdiagonalen, da kommt immer eine null hin. gut das haben wir so vorgerechnet bekommen, aber wie kommt man auf so geschichten?
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Di 15.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi
> okay auch wenns nicht eindeutig ist, wie kann ich mir dann
> sowas prinzipiell überlegen:
>
> bsp. f= xy+yz+zx
>
> da ist die Matrix A eine matrix die überall ein 1/2 hat
> auser auf der hauptdiagonalen, da kommt immer eine null
> hin. gut das haben wir so vorgerechnet bekommen, aber wie
> kommt man auf so geschichten?
Du musst dir nur die allgemeinste Bilinearform hinschreiben:
[mm] \vektor{x\\y\\z}^T\cdot \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot \vektor{x\\y\\z} [/mm]
[mm] = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 +a_{33} z^2 + (a_{12}+a_{21})xy + (a_{13}+a_{31})xz + (a_{23}+a_{32})yz [/mm]
Daran siehst du auch, warum man die Matrix gerne symmetrisch wählt: da nur die Summen [mm] $a_{12}+a_{21}$ [/mm] usw eine Rolle spielen, kann man der Einfachheithalber auch gleich [mm] $a_{12}=a_{21}$ [/mm] usw setzen und bekommt:
[mm] = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 +a_{33} z^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Di 15.07.2008 | | Autor: | Phecda |
okay danke
so hab ich mir dass dann auhc später überlegt ...
|
|
|
|
