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| Aufgabe | Ermitteln Sie mit Hilfe des binomischen Satzes den von x unabhängigen Summanden in
[mm] (x^3+\bruch{1}{x^2})^{10}. [/mm] |
Hallo,
ich krieg die Aufgabe eig ganz gut hin, habe mit Hilfe des bin. Satzes (Formel) die jeweiligen Exponenten raus und mit dem Pascalschem Dreieck die Koeffizienten ermittelt:
[mm] x^{30}+10x^{27}\bruch{1}{x^2}+45x^{24}\bruch{1}{x^4}+......+10x^3\bruch{1}{x^{18}}+\bruch{1}{x^{20}}
[/mm]
Ok, ich denke, dass war kein Problem...
Aber was genau, wollen die von mir?
Den von x unabhängigen Summanden? Welcher ist das?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo easymaths88,
> Ermitteln Sie mit Hilfe des binomischen Satzes den von x
> unabhängigen Summanden in
>
> [mm](x^3+\bruch{1}{x^2})^{10}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich krieg die Aufgabe eig ganz gut hin, habe mit Hilfe des
> bin. Satzes (Formel) die jeweiligen Exponenten raus und mit
> dem Pascalschem Dreieck die Koeffizienten ermittelt:
>
> [mm]x^{30}+10x^{27}\bruch{1}{x^2}+45x^{24}\bruch{1}{x^4}+......+10x^3\bruch{1}{x^{18}}+\bruch{1}{x^{20}}[/mm]
>
> Ok, ich denke, dass war kein Problem...
>
> Aber was genau, wollen die von mir?
> Den von x unabhängigen Summanden? Welcher ist das?
>
Das ist derjenige Koeffizient dessen Exponent 0 ist.
> Danke.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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ähm, das müsste dann:
ganz am Anfang :
[mm] (\bruch{1}{x^2})^0 [/mm] = 1
und ganz am Ende:
[mm] (x^3)^0 [/mm] = 1
sein?
Was ist denn jetzt dann, das gewünschte Ergebnis, die 1 oder der Ausdruck davor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 2 kommen doch nicht ohne x vor. nein du suchst den Term, wo sich die x im nenner mit denen im Zähler zu [mm] x^0 [/mm] "kürzen"
gruss leduart
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hmm, versteh ich jetzt überhaupt nicht mehr.
in beiden Summanden ist doch ein x enthalten, dementsprechend ist in ihren Produkten auch mind. ein x enthalten!?
> Hallo
> die 2 kommen doch nicht ohne x vor. nein du suchst den
> Term, wo sich die x im nenner mit denen im Zähler zu [mm]x^0[/mm]
> "kürzen"
> gruss leduart
im Zähler kommt doch nie ein x "rein". da ist doch eine 1 und die potenziert bleibt eins.
Hmm etweder ich steh total auf dem Schlauch oder ich versteh einfach nicht was gemeint ist :D
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Hallo Carpe_Ratio,
> hmm, versteh ich jetzt überhaupt nicht mehr.
>
> in beiden Summanden ist doch ein x enthalten,
> dementsprechend ist in ihren Produkten auch mind. ein x
> enthalten!?
>
Das ist hier nicht immer der Fall.
> > Hallo
> > die 2 kommen doch nicht ohne x vor. nein du suchst den
> > Term, wo sich die x im nenner mit denen im Zähler zu [mm]x^0[/mm]
> > "kürzen"
> > gruss leduart
>
> im Zähler kommt doch nie ein x "rein". da ist doch eine 1
> und die potenziert bleibt eins.
>
> Hmm etweder ich steh total auf dem Schlauch oder ich
> versteh einfach nicht was gemeint ist :D
>
Es ist doch:
[mm]\left(x^{3}+\bruch{1}{x^{2}} \right)^{10}=\summe_{k=0}^{10} \pmat{n \\ k}\left( \ x^{3} \ \right)^{k}*\left( \ \bruch{1}{x^{2}} \ \right)^{10-k}[/mm]
Bestimme nun dasjenige k für das gilt:
[mm]\left( \ x^{3} \ \right)^{k}=\left( \ x^{2} \ \right)^{10-k}[/mm]
Gruss
MathePower
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[mm] x^{30}+10x^{27}\bruch{1}{x^2}+45x^{24}\bruch{1}{x^4}+120x^{21}\bruch{1}{x^6}+210x^{18}\bruch{1}{x^8}+252x^{15}\bruch{1}{x^{10}}+210x^{12}\bruch{1}{x^{12}}+120x^{9}\bruch{1}{x^{14}}+45x^{6}\bruch{1}{x^{16}}+10x^3\bruch{1}{x^{18}}+\bruch{1}{x^{20}}
[/mm]
So, jetzt hab ich sie alle hier drin stehen :D
ahhh gesucht wird somit: [mm] 210x^{12}\bruch{1}{x^{12}} [/mm] ?
Das ist die Lösung? oder gibt es da eine andere?
Wenn ja, hab ich das richtig gemacht, mit dem ausschreiben, oder wie hättet ihr das gemacht? Hätte ja auch [mm] x^{8546} [/mm] sein können, da wird es aber seehr schwierig mit dem ausschreiben :D
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Hallo Carpe_Ratio,
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> [mm]x^{30}+10x^{27}\bruch{1}{x^2}+45x^{24}\bruch{1}{x^4}+120x^{21}\bruch{1}{x^6}+210x^{18}\bruch{1}{x^8}+252x^{15}\bruch{1}{x^{10}}+210x^{12}\bruch{1}{x^{12}}+120x^{9}\bruch{1}{x^{14}}+45x^{6}\bruch{1}{x^{16}}+10x^3\bruch{1}{x^{18}}+\bruch{1}{x^{20}}[/mm]
>
> So, jetzt hab ich sie alle hier drin stehen :D
>
> ahhh gesucht wird somit: [mm]210x^{12}\bruch{1}{x^{12}}[/mm] ?
>
> Das ist die Lösung? oder gibt es da eine andere?
>
Ja, das ist die Lösung.
Der Koeffizient lautet demanch 210.
> Wenn ja, hab ich das richtig gemacht, mit dem ausschreiben,
> oder wie hättet ihr das gemacht? Hätte ja auch [mm]x^{8546}[/mm]
> sein können, da wird es aber seehr schwierig mit dem
> ausschreiben :D
Nun, mit Hilfe der Summenschreibweise ergibt sich doch:
[mm]\left(x^{3}+\bruch{1}{x^{2}} \right)^{10}=\summe_{k=0}^{10} \pmat{n \\ k}\left( \ x^{3} \ \right)^{k}\cdot{}\left( \ \bruch{1}{x^{2}} \ \right)^{10-k}=\summe_{k=0}^{10} \pmat{n \\ k} x^{3k}\cdot{}\bruch{1}{x^{2*\left(10-k\right)}}[/mm]
Um den Koeffizienten mit dem Exponenten 0 zu bestimmen,
is zunächst zu lösen:
[mm]3k=2*\left(10-k\right)[/mm]
Daraus ergibt sich k=4.
Demnach ist der Koeffizient [mm]\pmat{10 \\ 4}=210[/mm]
Gruss
MathePower
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