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Forum "Folgen und Reihen" - binomialsatz
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binomialsatz: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mo 26.05.2008
Autor: marie11

Aufgabe
ich möchte hier binomialsatz verwenden!

[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} [/mm]

ich kann mit der 2 nichts anfangen!
ansonsten würde ich so rechnen!

[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(1+1)^n=2^n [/mm]


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
binomialsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mo 26.05.2008
Autor: Somebody


> ich möchte hier binomialsatz verwenden!
>  [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k}[/mm]
>  
> ich kann mit der 2 nichts anfangen!
>  ansonsten würde ich so rechnen!
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(1+1)^n=2^n[/mm]

Dies ist natürlich falsch. Aber vielleicht kannst Du folgende zwei Gleichungen so kombinieren, dass nur die Binomialkoeffizienten mit geradem $k$ bleiben (für $2k>n$ sind in der zu berechnenden Summe die Binomialkoeffizienten des weiteren alle =0):

[mm]\begin{array}{crclcl} \text{(I)} & 2^n &=& (1+1)^n &=& \summe_{k=0}^n \binom{n}{k}\\[.2cm] \text{(II)} & 0 &=& \big((-1)+1\big)^n &=& \summe_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot (-1)^k \end{array}[/mm]


Nachtrag (1. Revision): Im Falle $n=0$ gilt allerdings die Gleichung (II) nicht. Diesen Fall musst Du getrennt betrachten.

Bezug
                
Bezug
binomialsatz: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Mo 26.05.2008
Autor: marie11

Aufgabe
stimmt es jetzt?

[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(0)^n=0 [/mm]

da ja 2k>n deren binomialkoeffizienten =0 sind!



> > ich möchte hier binomialsatz verwenden!
>  >  [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k}[/mm]
>  >  
> > ich kann mit der 2 nichts anfangen!
>  >  ansonsten würde ich so rechnen!
>  >  
> > [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(1+1)^n=2^n[/mm]
>  
> Dies ist natürlich falsch. Aber vielleicht kannst Du
> folgende zwei Gleichungen so kombinieren, dass nur die
> Binomialkoeffizienten mit geradem [mm]k[/mm] bleiben (für [mm]2k>n[/mm] sind
> in der zu berechnenden Summe die Binomialkoeffizienten des
> weiteren alle =0):
>  
> [mm]\begin{array}{crclcl} \text{(I)} & 2^n &=& (1+1)^n &=& \summe_{k=0}^n \binom{n}{k}\\[.2cm] \text{(II)} & 0 &=& \big((-1)+1\big)^n &=& \summe_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot (-1)^k \end{array}[/mm]
>  
> Nachtrag (1. Revision): Im Falle [mm]n=0[/mm] gilt allerdings die
> Gleichung (II) nicht. Diesen Fall musst Du getrennt
> betrachten.


Bezug
                        
Bezug
binomialsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:29 Di 27.05.2008
Autor: Somebody


> stimmt es jetzt?
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(0)^n=0[/mm]
>  
> da ja 2k>n deren binomialkoeffizienten =0 sind!

Nein, dies ist natürlich nicht richtig. Du kannst Dir ja problemlos ein Gegenbeispiel zu dieser Behauptung überlegen. Was ich sagen wollte ist nur, dass folgendes gilt:

[mm]\summe_{k=0}^n\binom{n}{2k}=\summe_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}[/mm]


Mein Hinweis, dass für $n>0$ gilt:

> > [mm]\begin{array}{crclcl} \text{(I)} & 2^n &=& (1+1)^n &=& \summe_{k=0}^n \binom{n}{k}\\[.2cm] \text{(II)} & 0 &=& \big((-1)+1\big)^n &=& \summe_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot (-1)^k \end{array}[/mm]

hätte Dich dazu veranlassen sollen, diese beiden Gleichungen zu addieren. Ergibt
[mm]2^n +0 =\summe_{k=0}^n\binom{n}{k}+\summe_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot(-1)^k[/mm]

also ist, weil sich die Glieder für ungerades $k$ aufheben, die Glieder für gerades $k$ aber verdoppeln,
[mm]2^n=2\cdot \summe_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}=2\cdot \summe_{k=0}^n\binom{n}{2k}[/mm]

Somit erhalten wir, durch beidseitiges Dividieren dieser Beziehung durch $2$, dass gilt: [mm] $\summe_{k=0}^n\binom{n}{2k}=2^{n-1}$ [/mm] (für $n>0$). Für $n=0$ hat die fragliche Summe den Wert $1$, weil [mm] $\binom{0}{0}=1$ [/mm] ist.

Du kannst diese Summe allerdings auch als Antwort auf eine kombinatorische Fragestellung auffassen: [mm] $\summe_{k=0}^n\binom{n}{2k}$ [/mm] ist die Anzahl Teilmengen einer $n$-elementigen Menge, die eine gerade Anzahl von Elementen besitzt.

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