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| Aufgabe | Beweise die allgemeine binomische Formel:
[mm] (a+b)^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{k}b^{n-k}
[/mm]
wobei [mm] a,b\in\IR, n\in\IN [/mm] |
Hallo!
Ich habe im Skript einen Beweis dazu, hänge aber teilweise:
Induktionsanfang:
n=1: [mm] (a+b)^{1}=\vektor{1 \\ 0}a^{0}b^{1}+\vektor{1 \\ 1}a^{1}b^{0} [/mm] --> wahr
Induktionsschluss:
[mm] (a+b)^{n+1}=(a+b) \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{k}b^{n-k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{k+1}b^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{k}b^{n-k+1}
[/mm]
[mm] =a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k-1}a^{k}b^{n-(k-1)}+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}a^{k}b^{n-k+1}+b^{n+1}
[/mm]
[mm] =a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n \\ k})a^{k}b^{n-k+1}+b^{n+1}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}a^{k}b^{n+1-k}
[/mm]
Ich verstehe folgendes nicht:
1. wie ist der Übergang von der 1. zur 2. Zeile im Induktionsschluss?
erst mal (a+b) reinziehen, aber dann? wie kommt man auf [mm] a^{k+1} [/mm] und [mm] b^{n-k+1} [/mm] in 2 unterschiedlichen summen?
2. in Zeile 3: wie komme ich bei der rechten Summe auf den Index-Anfang k=1? ich hatte mir bei der linken überlegt, dass man k=1 setzt, dafür im binomialkoeffizient k-1 und auch sonst innerhalb der summe. bei der anderen würde das von den exponenten von a und b auch noch passen, aber nicht mit dem binomialkoeffizienten. was habe ich denn hier übersehen?
Ansonsten ist alles klar...
könnte mir jemand hier helfen? das wäre super!
Grüßle, Lily
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> Beweise die allgemeine binomische Formel:
> [mm](a+b)^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}a^{k}b^{n-k}[/mm]
>
> wobei [mm]a,b\in\IR, n\in\IN[/mm]
> Hallo!
> Ich habe im Skript einen Beweis dazu, hänge aber
> teilweise:
>
> Induktionsanfang:
>
> n=1: [mm](a+b)^{1}=\vektor{1 \\
0}a^{0}b^{1}+\vektor{1 \\
1}a^{1}b^{0}[/mm]
> --> wahr
>
> Induktionsschluss:
>
> [mm](a+b)^{n+1}=(a+b) \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}a^{k}b^{n-k}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}a^{k+1}b^{n-k}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\
k}a^{k}b^{n-k+1}[/mm]
>
> [mm]=a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\
k-1}a^{k}b^{n-(k-1)}+\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\
k}a^{k}b^{n-k+1}+b^{n+1}[/mm]
>
> [mm]=a^{n+1}+\summe_{k=1}^{n}(\vektor{n \\
k-1}+\vektor{n \\
k})a^{k}b^{n-k+1}+b^{n+1}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\
k}a^{k}b^{n+1-k}[/mm]
>
> Ich verstehe folgendes nicht:
> 1. wie ist der Übergang von der 1. zur 2. Zeile im
> Induktionsschluss?
Hallo,
so: (a+b)*x= ax+bx.
Klar jetzt?
> erst mal (a+b) reinziehen, aber dann? wie kommt man
> auf [mm]a^{k+1}[/mm] und [mm]b^{n-k+1}[/mm] in 2 unterschiedlichen summen?
S.o. Das x steht für die Summe.
> 2. in Zeile 3: wie komme ich bei der rechten Summe auf den
> Index-Anfang k=1?
Es ist doch [mm] \summe_{i=0}^na_i=a_0+\summe_{i=1}^n=\summe_{i=1}^n+a_0.
[/mm]
Das [mm] b^{n+1}ganz [/mm] rechts bekommst Du, wenn Du in [mm] \vektor{n \\
k}a^{k}b^{n-k+1} [/mm] fürs k die 0 einsetzt.
> ich hatte mir bei der linken überlegt,
> dass man k=1 setzt, dafür im binomialkoeffizient k-1 und
> auch sonst innerhalb der summe.
Ja, so ist das links.
Rechts ist es viel weniger zauberisch. s. o.
LG Angela
> bei der anderen würde das
> von den exponenten von a und b auch noch passen, aber nicht
> mit dem binomialkoeffizienten. was habe ich denn hier
> übersehen?
>
> Ansonsten ist alles klar...
> könnte mir jemand hier helfen? das wäre super!
> Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Do 09.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
> > 1. wie ist der Übergang von der 1. zur 2. Zeile im
> > Induktionsschluss?
>
> Hallo,
>
> so: (a+b)*x= ax+bx.
> Klar jetzt?
autsch, hab wohl zu kompliziert gedacht ^^
>
> > 2. in Zeile 3: wie komme ich bei der rechten Summe auf den
> > Index-Anfang k=1?
>
> Es ist doch
> [mm]\summe_{i=0}^na_i=a_0+\summe_{i=1}^n=\summe_{i=1}^n+a_0.[/mm]
> Das [mm]b^{n+1}ganz[/mm] rechts bekommst Du, wenn Du in [mm]\vektor{n \\
k}a^{k}b^{n-k+1}[/mm]
> fürs k die 0 einsetzt.
>
>
>
> > ich hatte mir bei der linken überlegt,
> > dass man k=1 setzt, dafür im binomialkoeffizient k-1 und
> > auch sonst innerhalb der summe.
>
> Ja, so ist das links.
> Rechts ist es viel weniger zauberisch. s. o.
>
aaaah, langsam aber sicher ist es mir jetzt gedämmert...
danke 
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