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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:38 Mi 27.10.2004 | | Autor: | beauty |
Ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabe lautet [mm] x_1,.....x_k [/mm] sind reele Zahlen. n N. Man soll nun die Gültigkeit des verallgemeinerten binomischen Lehrsatzes zeigen.
[mm] +(x_1+...x_k)^n=/sum_/left\{ \left| alpha\right|=n}right\{n \choose alpha} [/mm] x ^alpha
Ich weiß das ich die Induktion über k machen muss
[mm] ((x_1+...+x_k)+x_k+1)^n=/summe_(beta_1 beta_2)^n{n \choose k} (x_1+...+x_k)^beta_1 x_k+1 ^beta_2
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt weiter? Wäre nett wenn mir jemand hilft.
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Hallo Schönheit,
ich kann deiner Frage nicht viel entnehmen.
Kannst du sie nochmal stellen, indem du die Formeln etwas leserlicher  eingibst, z.B. ergibt
\sum_{k=0}^{n} bzw. \summe_{k=0}^{n} den Ausdruck [mm]\sum_{k=0}^{n}[/mm].
Als Exponent wird immer nur ein(!) Zeichen genommen, deswegen ergibt 2^10 = [mm]2^10[/mm], aber es entsteht [mm]2^{10}[/mm] durch 2^{10}. Hast du längere zusammengehörende Ausdrücke, wie z.B. das k=1 von der Summe, dann muss das in geschweifte Klammern.
Mehr Infos zu den Formeln gibt es in der Formelhilfe.
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Do 28.10.2004 | | Autor: | beauty |
Die formel lautet:
[mm] (x_1+....+x_k)^n=summe_(\left| alpha\right|=n){n \choose alpha} [/mm] x^(alpha)
Ich hoffe du kannst mir jetzt weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Do 28.10.2004 | | Autor: | beauty |
Hey!
Habe die Formel jetzt noch einmal reingesetzt. Könnt ihr mir jetzt weiterhelfen?Komme nämlich einfach nicht weiter.
Wäre echt super!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich würde den Beweis zunächst für festes $k=1$ (das ist trivial) und $k=2$ über $n [mm] \in \IN$ [/mm] per Induktion zeigen, und dann wie folgt per Induktion nach $k$:
[mm] $(x_1+ \ldots [/mm] + [mm] x_k [/mm] + [mm] x_{k+1})^n [/mm] = [mm] \sum\limits_{l=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] l} [mm] (x_1+ \ldots [/mm] + [mm] x_k)^l \cdot x_{k+1}^{n-l}$
[/mm]
(da wir die Behauptung für $k=2$ und beliebiges $n$ schon gezeigt haben)
$= [mm] \sum\limits_{l=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] l} [mm] \sum\limits_{\vert \alpha \vert = l} [/mm] {l [mm] \choose \alpha}x^{\alpha} x_{k+1}^{n-l}$
[/mm]
(nach Induktionsvoraussetzung)
$= [mm] \sum\limits_{\vert \tilde{\alpha} \vert = n} \sum\limits_{l=0}^{n} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] l} {l [mm] \choose \tilde{\alpha}} x^{\tilde{\alpha}}$
[/mm]
$= [mm] \ldots$
[/mm]
Hast du selber eine Idee, wie es jetzt weitergehen könnte?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Lord_Exo |
Hallo
ich bin schon ewig auf der suche nach einem vollständigem beweis des binomischen lehrsatzes.
Vielleicht kann mir da einer helfen oder mir einenen link schicken
Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Kevin!
Wenn du den ganz normalen Binomischen Lehrsatz meinst (nicht den verallgemeinerten), dann findest du dessen Beweis ![[]](/images/popup.gif) hier (Seite 11 in der skriptinternen Zählung).
Liebe Grüße
Julius
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