brennende kerze < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 17.12.2009 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Romeo und Julia laden das Ehepaar Montague zum Abvendtskaffee ein. Die Montagues sagen zu und kündigen an, dass sie höchstens eine Stunde bleiben können. Julia gibt sich ;Mühe mit der Dekoration des Tisches und stellt eine kegelförmige jerze mit einer Höhe von 10cm und einem untere#n Durchmesser von 2cm auf.
Wird die Kerze während des gesamten Besuchs brennen, wenn sie angezündet wird, sobald die Montagues an der Tür klingeln? Es wäre schließlich dem harmonischen Verlauf dieses Promibesuchs abträglich, wenn man die Kerze zwischendurch erneuern würde. Da Julia gerade eine Vorlesung in Differentialgleichungen besucht, stellt sie geschwind eine Differentialgleichung für die Höhe der brennenden Kerze als Funktion der Zeit auf und löst diese. Die Lösung lässt sie erleichtert aufatmen.
Stellen Sie eine DIfferentialgleichung auf und finden sie deren Lösung. Sie dürfen dabei annehmen, dass die Kerze schlank genug ist, um bis zunm Rand zu schmelzen, und dass dabei [mm] 1cm^{3} [/mm] Wachs in 6Minuten verbraucht wird. Nach welcher Zeit ist die Kerze ganz runtergebrannt? |
Hallo zusammen,
ich bin etwas verunsichert. Grundsätzlich würde ich sofort sagen ich habe einen linearen zerfall, aber ich habe ja eine kegelförmige Kerze, dh am anfang brennt das schneller runter als am ende, was bedeuten würde ich hätte eine e-funktion (was zu dgl x'(t)=k k<0 passen würde).
die e-funktion müsste dann verschoben werden, damit es eine Nullstelle geben kann, wenn die Kerze abgebrannt ist und sie muss enien Anfangswert von x(0)=10 haben.
Aaaaber wir sind ja in der vorlesung bei systemen von dgln, und das seh ich hierdrin jez gar nicht?
und ich bin nicht sicher, ob ich zuviel interpretiere, aber der "harmonische Verlauf" klang wie ein hinweis, aber das sind doch schwingungen und die kerze soll ja brennen und nicht schwingen^^
bitte dringend um aufklärung :(
vielen Dank
lg cmueller
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Do 17.12.2009 | | Autor: | nikinho |
hi,
ich hab das so bearbeitet, dass immer 1cm³ / 6minuten zerfällt.
also V' = 4/3 [mm] \pi [/mm] h'(t) = -1/6
dass dann nach h' umgeformt und gelöst.
komme auf 62,.. minuten was ja ganz schön ist...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Do 17.12.2009 | | Autor: | cmueller |
Danke dir, das werdeich mal versuchen, melde mich dann ggf nochmal ;)
sehe ich das richtig, das wir inder gleichen vl sitzen?
hast du dich schon mit den andren aufgaben beschäftigt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Do 17.12.2009 | | Autor: | nikinho |
Jo, sitzen wohl in derselben. Mit den anderen hab ich mich noch nicht beschäftigt... nur die 2. mal überflogen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Sa 19.12.2009 | | Autor: | cmueller |
Hi nochmal, sorry aber ich versteh nochnich ganzwie du weiter gerechnet hast.
alsoich hab dann auch
[mm] $\bruch{4}{3}\pi*h'(t)=-\bruch{1}{6}$ [/mm] nach h'(t) aufgelöst und dann integriert und komme auf
[mm] $h(t)=-\bruch{1}{8\pi}t+c [/mm] und c=10 wegen h(0)=10
und wenn ich dann weiter mache und V' integriere komm ich auf
[mm] $V(t)=\bruch{4}{3}\pi*h(t)=-\bruch{1}{3}t+\bruch{40}{3}\pi
[/mm]
aber da komm ich nich auf 62^^
kannst du mir nochmal helfen und mir sagen wo mein fehler liegt?
danke dir sehr
|
|
|
| |
|
Hallo,
der Fehler ist schon in der Formel. Das Volumen eines Kreiskegels ist [mm] 1/3*pi*r^2*h. [/mm] Damit kommt dann auch 62,83 min als Nullstelle raus. Finde die Aufgabe allerdings unsinnig gestellt, weil man das auch ohne DGL ausrechnen könnte....
LG Julia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 19.12.2009 | | Autor: | cmueller |
> Hallo,
>
> der Fehler ist schon in der Formel. Das Volumen eines
> Kreiskegels ist [mm]1/3*pi*r^2*h.[/mm]
wieso ist der fehler in der formel wenn du hast
r=2 ist [mm] r^{2}=4 [/mm] und damit [mm] \bruch{4}{3}\pi*h
[/mm]
> Damit kommt dann auch 62,83
> min als Nullstelle raus. Finde die Aufgabe allerdings
> unsinnig gestellt, weil man das auch ohne DGL ausrechnen
> könnte....
>
> LG Julia
|
|
|
| |
|
Der Durchmesser ist 2cm, dann ist der Radius 1 cm. So steht es auf dem ÜB und auch in der Aufgabenstellung oben 
LG Julia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Sa 19.12.2009 | | Autor: | cmueller |
oh verdammt :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Sa 19.12.2009 | | Autor: | chrisssy |
hi!
eigentlich müsste man sich überlegen, dass beim abbrennen die kerze kein kegel mehr, sondern ein kegelstumpf wird.
dann wird die rechnung was komplizierter, aber es scheint ungefähr das gleiche ergebnis raus zu kommen.
ich hab als genaue zeit [mm] 20\pi [/mm] raus
|
|
|
| |
|
Ich habe es erst versucht so zu rechnen, weil ich dachte, dass die Kerze nur an dem "Deckel" des Kegelstumpfes schmelzen dürfte. Die Änderungsrate wäre dann proportional zum Flächeninhalt des Deckels. Da dieser aber mit fortschreitender Zeit größer würde, wäre die Änderungsrate nicht mehr konstant. Zum andern spricht gegen diesen Ansatz, dass die unbenutzte Kerze ein Volumen von 10/3*/pi hat, und diese bei 1cm³/6min nach ca. 62,83 min aufgebraucht, also genau derselbe wert, der auch ohne Kegelstumpf herauskommt. Andererseits: stört mich gerade das aber auch, denn so brauche ich ja gar keine DGL. Und der Hinweis "Sie dürfen annehmen, dass die Kerze schlank genug ist, um bis zum Rand zu schmelzen" klingt schon eher nach Kegelstumpf. In der Kegelstumpf-DGL gäbe es mit der Höhe h(t) und dem Deckeldurchmesser r(t) zwei Variablen, gute Frage, wie man da eine elimieren könnte. Und wie gesagt, wo willst du da die -1/6 Änderungsrate einbringen?
Ich bin vorläufig zu dem Schluss gekommen, dass die Aufgabe seltsam gestellt ist und dass der Weg ohne Kegelstumpf richtig ist, aber 100% sicher bin ich nicht.
LG Julia
|
|
|
| |
|
Hallo Ihr drei,
eine niedlich verpackte Aufgabe, die dadurch nur wenig an Klarheit einbüßt. Ihr habt also mittlerweile drei Ansätze gefunden. Alle drei sollten natürlich das gleiche Ergebnis liefern.
Variante V1: man berechne das Gesamtvolumen der Kerze und daraus die Brenndauer.
Variante V2: man betrachte den zu jedem Zeitpunkt noch existierenden Teil der Kerze.
Variante V3: man betrachte den zu jedem Zeitpunkt bereits verbrannten Teil der Kerze.
V2 und V3 beziehen eine DGl mit ein, was ja gefordert ist. Bei beiden hängt die Änderungsrate von der aktuellen Oberfläche der Oberseite des Kegelstumpfs ab, was identisch mit der Grundfläche des in V3 betrachteten Kegels ist.
V3 ist leichter aufzustellen als V2, weil der Zusammenhang zwischen h und r leichter zu bestimmen ist, wenn h "von oben nach unten" zählt - es genügt einfacher Strahlen- bzw. Dreisatz.
Ansonsten ist es aber ziemlich egal, wer welchen Ansatz wählt, als Kontrolle kann ja das gemeinsame Ergebnis dienen. Hier führen mindestens drei Wege nach Rom, aber Ihr sollt einen davon nicht (oder nur zur Ergebniskontrolle) benutzen.
lg
reverend
|
|
|
|
