cauchy-folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich versuche gerade, mir die Cauchy-Folgen etwas klarer zu machen und wollte mal fragen, ob das, was ich mir so denke, auch richtig ist:
Definition:
Eine Folge [mm] (a_{i})_{i\in \IN} [/mm] in [mm] \IK [/mm] heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists N\in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] m,n [mm] \le [/mm] N : [mm] |a_{m}-a_{n}|<\epsilon.
[/mm]
(mit [mm] \IK [/mm] = [mm] \IC [/mm] oder [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IQ [/mm] oder [mm] \IN [/mm] )
Dh. eine Cauchy-Folge ist eine Folge, bei der der Abstand der Folgeglieder im Verlauf der Folge immer kleiner wird.
Allgemein gilt: konvergiert eine Folge, so ist sie eine Cauchy-Folge.
Andersherum gilt dies nur, wenn der Körper vollständig ist.
Z.B. gilt dies in [mm] \IR [/mm] aber nicht in [mm] \IQ
[/mm]
Beispiele:
- [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] = [mm] (n)_{n\in \IN} [/mm] ist keine Cauchy-Folge
- [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{n})_{n\in \IN} [/mm] ist eine Cauchy-Folge
- [mm] a_{0}:=1, a_{n+1}= \bruch{a_{n}}{2}+\bruch{1}{a_{n}} [/mm] konvergiert in den reellen Zahlen, erfüllt in den rationalen Zahlen die Cauchy-Eigenschaft, konvergiert dort aber nicht, da der Grenzwert gleich [mm] \wurzel{2} [/mm] ist, welches nicht in den rationalen Zahlen ist.
Hieran sieht man auch die Notwendigkeit der Voraussetzung "Vollständigkeit", damit eine Cauchyfolge in dem Raum konvergiert.
Ist das so richtig?
GIbt es vielleicht noch etwas wichtiges, das ich hier nicht aufgeführt habe?
Grüßle, Lily 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Fr 24.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo!
> Ich versuche gerade, mir die Cauchy-Folgen etwas klarer zu
> machen und wollte mal fragen, ob das, was ich mir so denke,
> auch richtig ist:
>
> Definition:
> Eine Folge [mm](a_{i})_{i\in \IN}[/mm] in [mm]\IK[/mm] heißt Cauchy-Folge,
> wenn gilt: [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists N\in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm]
> m,n [mm]\le[/mm] N : [mm]|a_{m}-a_{n}|<\epsilon.[/mm]
hier ist ein Fehler:
richtig m,n [mm]\ge[/mm] N
> (mit [mm]\IK[/mm] = [mm]\IC[/mm] oder [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm] oder [mm]\IN[/mm] )
>
> Dh. eine Cauchy-Folge ist eine Folge, bei der der Abstand
> der Folgeglieder im Verlauf der Folge immer kleiner wird.
Das ist anschaulich zwar nicht falsch, aber eine konstante Folge, z.B [mm] a_n=1 [/mm] ist auch eine Cauchyfolge, wenn auch nicht sehr spannend, der Abstand wird auch nicht nur immer jleiner /dann könnte er trotzdem >0.01 bleiben.
so dass deine Beschreibung zu ungenau und damit falsch ist. ist. Die Def selbst ist viel präziser
> Allgemein gilt: konvergiert eine Folge, so ist sie eine
> Cauchy-Folge.
richtig
> Andersherum gilt dies nur, wenn der Körper vollständig
> ist.
> Z.B. gilt dies in [mm]\IR[/mm] aber nicht in [mm]\IQ[/mm]
>
> Beispiele:
> - [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] = [mm](n)_{n\in \IN}[/mm] ist keine
> Cauchy-Folge
> - [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] = [mm](\bruch{1}{n})_{n\in \IN}[/mm] ist eine
> Cauchy-Folge
> - [mm]a_{0}:=1, a_{n+1}= \bruch{a_{n}}{2}+\bruch{1}{a_{n}}[/mm]
> konvergiert in den reellen Zahlen, erfüllt in den
> rationalen Zahlen die Cauchy-Eigenschaft, konvergiert dort
> aber nicht, da der Grenzwert gleich [mm]\wurzel{2}[/mm] ist, welches
> nicht in den rationalen Zahlen ist.
> Hieran sieht man auch die Notwendigkeit der Voraussetzung
> "Vollständigkeit", damit eine Cauchyfolge in dem Raum
> konvergiert.
>
>
> Ist das so richtig?
der 2 te Teil ist richtig
> GIbt es vielleicht noch etwas wichtiges, das ich hier
> nicht aufgeführt habe?
Nichts was ich grad sehe.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke erstmal
> > Definition:
> > Eine Folge [mm](a_{i})_{i\in \IN}[/mm] in [mm]\IK[/mm] heißt
> Cauchy-Folge,
> > wenn gilt: [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists N\in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm]
> > m,n [mm]\le[/mm] N : [mm]|a_{m}-a_{n}|<\epsilon.[/mm]
> hier ist ein Fehler:
> richtig m,n [mm]\ge[/mm] N
> > (mit [mm]\IK[/mm] = [mm]\IC[/mm] oder [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm] oder [mm]\IN[/mm] )
oh, ja, da hab ich wohl beim Tippen \ le und \ ge verwechselt...
> >
> > Dh. eine Cauchy-Folge ist eine Folge, bei der der Abstand
> > der Folgeglieder im Verlauf der Folge immer kleiner wird.
> Das ist anschaulich zwar nicht falsch, aber eine konstante
> Folge, z.B [mm]a_n=1[/mm] ist auch eine Cauchyfolge, wenn auch
> nicht sehr spannend, der Abstand wird auch nicht nur immer
> jleiner /dann könnte er trotzdem >0.01 bleiben.
> so dass deine Beschreibung zu ungenau und damit falsch
> ist. ist. Die Def selbst ist viel präziser
Wenn ich sagen würde "...wird beliebig klein" wäre das besser?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Mathe-Lily,
> Wenn ich sagen würde "...wird beliebig klein" wäre das
> besser?
ich würde sagen "Der Abstand der Folgenglieder wird schließlich beliebig klein" oder "... ist eine Nullfolge".
So, wie du es geschrieben hast könnte man meinen, dass der Abstand irgendwo beliebig klein wird, aber aber einem bestimmten Index wieder größer wird.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
ah, ok, danke
|
|
|
|
