char.Polynom/Diagonalmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 20.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Sei [mm] A=\pmat{1&-3&-2&1\\-1&-1&-2&1\\1&3&4&-1\\0&0&0&2}[/mm]. Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S so, dass [mm] S^{-1}AS[/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
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Hallo,
ich denke, ich muss über das char.Polynom die Eigenwerte bestimmen, dann die Eigenvektoren zu den Eigenwerten, und aus den Eigenvektoren kann ich dann S bilden.
Mein Problem ist, dass ich das char.Polynom nicht bestimmen kann, ich bekomme jedes Mal ein anderes Ergebnis.
Mein Ansatz war über Laplace die 4.Zeile/Spalte heraus zu nehmen und dann mit der Sarrus-Regel die 3x3 Matrix - Determinante zu bestimmen:
Dann erhalte ich [mm](T-2) ( (T-1)(T+1)(T-4)-7T+20) )[/mm]
Und jetzt komme ich nicht mehr weiter.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 20.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Mein Problem ist, dass ich das char.Polynom nicht bestimmen kann, ich bekomme jedes Mal ein anderes Ergebnis.
Das kenne ich nur zu gut.
> Mein Ansatz war über Laplace die 4.Zeile/Spalte heraus zu
> nehmen und dann mit der Sarrus-Regel die 3x3 Matrix -
Das klingt doch gut.
[mm] det(A-\lambda*E)=det\pmat{1-\lambda&-3&-2&1\\-1&-1-\lambda&-2&1\\1&3&4-\lambda&-1\\0&0&0&2-\lambda}=(-2+\lambda)*det\pmat{1-\lambda&-3&-2\\-1&-1-\lambda&-2\\1&3&4-\lambda} [/mm]
Jetzt einfach weiter mit LaPlace!
[mm] (-2+\lambda)*det\pmat{1-\lambda&-3&-2\\-1&-1-\lambda&-2\\1&3&4-\lambda}=(-2+\lambda)*((1-\lambda)det\pmat{-1-\lambda&-2\\3&4-\lambda}+det\pmat{-3&-2\\3&4-\lambda}+det\pmat{-3&-2\\-1-\lambda&-2})
[/mm]
[mm] =(-2+\lambda)*((1-\lambda)*((-1-\lambda)*(4-\lambda)+6)+(-3(4-\lambda)+6)+6-((-1-\lambda)*(-2)))
[/mm]
[mm] =(-2+\lambda)*(-4+\lambda-4\lambda+\lambda^2+6+4\lambda-\lambda^2+4\lambda^2-\lambda^3-6\lambda-6+3\lambda+4-2\lambda)
[/mm]
[mm] =(-2+\lambda)*(-\lambda^3+4\lambda^2-4\lambda)
[/mm]
[mm] =(-2+\lambda)*(-\lambda*(\lambda^2-4\lambda+4))
[/mm]
[mm] =(-2+\lambda)*(-\lambda)*(\lambda-2)^2
[/mm]
[mm] =(\lambda-2)^3*(-\lambda)=0 \gdw \lambda_1=0, \lambda_{2,3,4}=2.
[/mm]
Somit erhalten wir die Eigenwerte 0 (einfache Vielfachheit) und 2 (dreifache Vielfachheit).
MfG barsch
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