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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Leibniz |
Hallo!
Eine nette Aufgabe beschäftigt mich mal wieder ausgiebig. Vielleicht kann mir ja jemand helfen meine Nerven zu entlasten?! 
Für a,b [mm] \in \IR [/mm] sollen wir das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der Matrix A = [mm] \pmat{ b & a & a& ...... & a \\ a & b & a & ...... & a \\ a & a & b & ...... & a \\ ....&....&....&......&.... \\a & a& a & ...... & b } [/mm]
bestimmen.
Das charakteristische Polynom erhalte ich ja mit det (A - [mm] \lambda [/mm] E ) = 0
Die Umformungen liefern:
[mm] \pmat{ b - \lambda & a & a& ...... & a \\
a & b- \lambda & a & ...... & a \\
a & a & b - \lambda & ...... & a \\
....&....&....&......&.... \\
a & a& a & ...... & b - \lambda } [/mm]
[mm] \pmat{ b - \lambda - a & 0 & 0& ...... & a -b - \lambda \\
0 & b- \lambda -a & 0 & ...... & a -b - \lambda \\
0 & 0 & b - \lambda -a & ...... & a - b - \lambda \\
....&....&....&......&.... \\
a & a& a & ...... & b - \lambda } [/mm]
[mm] \pmat{ (b - \lambda - a) a & 0 & 0& ...... & 0 \\
0 & (b - \lambda - a) a& 0 & ...... & 0\\
0 & 0 & (b - \lambda - a) a& ...... & 0\\
....&....&....&......&.... \\
a & a& a & ...... & b - \lambda + (n-1) a } [/mm]
[mm] \pmat{ (b - \lambda - a) a & 0 & 0& ...... & 0 \\
0 & (b - \lambda - a) a& 0 & ...... & 0\\
0 & 0 & (b - \lambda - a) a& ...... & 0\\
....&....&....&......&.... \\
0& 0& 0 & ...... & (b-a) (b - \lambda + (n-1) a) }
[/mm]
Also erhalte ich det A = (b - a - [mm] \lambda )^{n-1} [/mm] (b - [mm] \lambda [/mm] + (n - 1) a) = 0
Für die Eigenwerte muß ich jetzt doch noch die Nullstellen finden. Wie soll das denn gehen?
Kann dieses Monster doch nicht per Polynomdivision klein bekommen, oder?!
Bedanke mich im voraus für Lösungsvorschläge und -hilfen. Vielen Dank
von Leibnix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 07.07.2004 | | Autor: | choosy |
[mm] (b-a-\lambda)^{n-1}(b [/mm] - [mm] \lambda [/mm] + (n - 1) a)
Dieses Polynom ist doch bereits in Linearfaktoren zerlegt:
[mm] \lambda [/mm] = b-a ist n-1 fach nullstelle und
[mm] \lambda [/mm] = b-(n-1)a ist weitere Nullstelle
und ähh fehlt bei dem Polynom nich ein mal [mm] a^{n-1} [/mm] *(b-a)?
jedenfalls wenn deine letzte matrix stimmt.
macht aber nix bei der nullstellenberechnung.
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