char(K) eines Körpers < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Di 04.03.2014 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Ist K ein Körper, so ist $char(K)$ entweder Null oder eine Primzahl. |
Beweis: Angenommen, $char(K) = m = k [mm] \cdot [/mm] l [mm] \not [/mm] = 0$ mit $1<k,l<m$. Aus $0 = m [mm] \cdot [/mm] 1 = (k [mm] \cdot [/mm] l) [mm] \cdot [/mm] 1 = (k [mm] \cdot [/mm] 1) (l [mm] \cdot [/mm] 1)$ folgt wegen der Nullteilerfreiheit $k [mm] \cdot [/mm] 1 = 0$ oder $l [mm] \cdot [/mm] 1 = 0$ im Widerspruch zur Minimalität von $m$.
Den Beweis verstehe ich nicht, deshalb bitte ich um Erläuterung. Ich weiss, dass Null und eine Primzahl negiert wurden, es ist mir klar, dass die Nullteilerfreiheit beim einem Körper existiert.
Was ich nicht verstehe, es geht um einen Körper und $1$ ist das Einselement, dann haben wir doch $m [mm] \cdot [/mm] 1 = m $ also nicht null. Kann mir jemand den Beweis bitte genauer Erläutern?
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> Ist K ein Körper, so ist [mm]char(K)[/mm] entweder Null oder eine
> Primzahl.
> Beweis: Angenommen, [mm]char(K) = m = k \cdot l \not = 0[/mm] mit
> [mm]1
> folgt wegen der Nullteilerfreiheit [mm]k \cdot 1 = 0[/mm] oder [mm]l \cdot 1 = 0[/mm]
> im Widerspruch zur Minimalität von [mm]m[/mm].
>
>
> Den Beweis verstehe ich nicht, deshalb bitte ich um
> Erläuterung. Ich weiss, dass Null und eine Primzahl
> negiert wurden, es ist mir klar, dass die
> Nullteilerfreiheit beim einem Körper existiert.
>
> Was ich nicht verstehe, es geht um einen Körper und [mm]1[/mm] ist
> das Einselement,
Hallo,
ja, das Einselement in diesem Körper. Schreiben wir zur Sicherheit [mm] 1_K.
[/mm]
> dann haben wir doch [mm]m \cdot 1 = m[/mm]
Nein. Das m, über das wir hier reden, ist eine natürliche Zahl.
Der Ausdruck [mm] m*1_K [/mm] bedeutet [mm] \underbrace{1_K+1_K+...+1_K}_{m-mal}.
[/mm]
[mm] m*1_K [/mm] ist also ein Element aus K - und nicht etwa eine natürliche Zahl!
> also
> nicht null.
Hier liegt das Problem in der Unkenntnis dessen, was char(K)=m bedeutet:
die Charakteristik ist die kleinste nat. Zahl, für die [mm] m*1_K=0_K [/mm] gilt.
Und wenn es eine solche Zahl nicht gibt, hat der Körper die Charakteristik 0, z.B. der Körper der reellen Zahlen.
> Kann mir jemand den Beweis bitte genauer
> Erläutern?
Das sollte Dir mit den neuen Infos jetzt selbst gelingen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Mi 05.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Danke für Deine Antwort. Es lag tatsächlich daran, dass ich nicht genau wusste war $char$ ist. Trotzdem ist noch einiges für mich unklar.
Ich nehme ein Körper $K$ und $m = 6$ also einfaches Beispiel. Dann haben wir $0 = m [mm] \cdot [/mm] 1$. Es ist nichts anderes als $0 = 1 + 1 + 1 +1 +1 +1 $, und das ist auch [mm] $(2\cdot [/mm] 3) [mm] \cdot [/mm] 1$. Was ich jetzt nicht verstehe ist $(k [mm] \cdot [/mm] 1) (l [mm] \cdot [/mm] 1)$, weil es ist nichts anderes als $(1+1)(1+1+1)$ und da taucht plötzlich kein Zeichen zwischen den Klammern was mich verwirrt was damit gemeint ist und warum man das so schreiben darf.
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Hallo,
> Danke für Deine Antwort. Es lag tatsächlich daran, dass
> ich nicht genau wusste war [mm]char[/mm] ist. Trotzdem ist noch
> einiges für mich unklar.
>
> Ich nehme ein Körper [mm]K[/mm] und [mm]m = 6[/mm] also einfaches Beispiel.
> Dann haben wir [mm]0 = m \cdot 1[/mm]. Es ist nichts anderes als [mm]0 = 1 + 1 + 1 +1 +1 +1 [/mm],
> und das ist auch [mm](2\cdot 3) \cdot 1[/mm]. Was ich jetzt nicht
> verstehe ist [mm](k \cdot 1) (l \cdot 1)[/mm], weil es ist nichts
> anderes als [mm](1+1)(1+1+1)[/mm] und da taucht plötzlich kein
> Zeichen zwischen den Klammern was mich verwirrt was damit
> gemeint ist und warum man das so schreiben darf.
Das ist die ganz banale Konvention, bekannt aus der Schule, Malzeichen z.B. zwischen Klammern oder zwischen Koeffizienten und Variablen schlicht wegzulassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:30 Mi 05.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Das ich das mal-Zeichen weg lassen kann, ist mir klar. Ich habe aber stehen $1+1+1+1+1+1$ und meine Frage ist eigentlich, warum da plötzlich [mm] $\cdot$ [/mm] steht. Wenn ich das jetzt richtig verstehe, ich habe die Form $(1+1)(1+1+1)$ und das ist das natürliche mal-Zeichen. D.h. ich kann rechnen $(1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + [mm] 1\cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] 1)$ und das ist $1+1+1+1+1+1$ also so wie es sein soll. Richtig?
Wenn ja, dann ist ein Produkt null (z.B. das erste) und man hat $0 (l [mm] \cdot [/mm] 1)$ und nun?
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> Das ich das mal-Zeichen weg lassen kann, ist mir klar. Ich
> habe aber stehen [mm]1+1+1+1+1+1[/mm] und meine Frage ist
> eigentlich,
Bitte stelle immer die eigentliche Frage und nicht zuerst die uneigentliche.
> warum da plötzlich [mm]\cdot[/mm] steht. Wenn ich das
> jetzt richtig verstehe, ich habe die Form [mm](1+1)(1+1+1)[/mm] und
> das ist das natürliche mal-Zeichen. D.h. ich kann rechnen
> [mm](1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1\cdot 1 + 1 \cdot 1)[/mm]
> und das ist [mm]1+1+1+1+1+1[/mm] also so wie es sein soll. Richtig?
>
Ja, da 1+1+1+1+1+1=(1+1)(1+1+1)
> Wenn ja, dann ist ein Produkt null (z.B. das erste) und man
> hat [mm]0 (l \cdot 1)[/mm] und nun?
Ergibt sich ein Widerspruch in deinem Beweis, wie gewünscht und beschrieben (k erfüllt [mm] $k\cdot [/mm] 1=0$ ist aber kleiner m, im Widerdpruch zur Minimalität von m)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:48 Mi 05.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Das verstehe ich jetzt! Vielen Dank.
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