charakt. polynom/Spur < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:17 So 31.05.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Gegeben sei das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix A, [mm] \chi_{A}=\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}c_{i}T^{i}.
[/mm]
Behauptung: [mm] -c_{n-1} [/mm] ist spur(A) und [mm] c_0=(-1)^ndet(A)
[/mm]
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Hallo,
dieser Satz findet sich in unzähligen Vorlesungsskripten und u.a. auch bei Wikipedia. Allerdings immer ohne einen formalen Beweis.
Ich habe mir zu der Spur überlegt, einfach erstmal det(TE-A) hinzuschreiben und wollte das dann nach der ersten Spalte entwickeln, was aber nicht möglich ist, da man A nicht genauer kennt und das Ganze einen dann überhaupt nicht weiterbringt.
Ich habe auch gelesen, dass man die Elemente von A als Elemente in [mm] \mathbb{C} [/mm] betrachten kann, und dann sich eine echte obere Dreiecksmatrix nehmen kann, da diese dann ähnlich zu A ist und das einfach ausrechnen kann. Sie Spur ist bei ähnlichen Matrizen ja gleich.
Nun gut. Wir hatten bisher aber nie den Satz, dass eine komplexe Matrix immer ähnlich zu einer komplexen oberen Dreiecksmatrix ist, deswegen will ich auf diese Idee garnicht weiter eingehen.
Für den [mm] c_0 [/mm] Teil habe ich selbst noch keine Idee.
Wenn der Satz scheinbar so trivial ist, dass er überall ohne Beweis geführt wird, dann muss der Beweis doch recht einfach sein. Aber wie geht man nun vor?
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> Gegeben sei das charakteristische Polynom einer
> quadratischen Matrix A,
> [mm]\chi_{A}=\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}c_{i}T^{i}.[/mm]
> Behauptung: [mm]-c_{n-1}[/mm] ist spur(A) und [mm]c_0=(-1)^ndet(A)[/mm]
>
Hallo,
Du kannst das mit der Laplace-Entwicklung von [mm] \chi_A(t)=det(A-\lambda [/mm] E) machen.
[mm] \chi_A(0) [/mm] ergibt ja gerade den Summanden [mm] c_0, [/mm] und wenn Du in der Laplace-Entwicklung [mm] \lambda=0 [/mm] setzt, bekommst Du gerade die Determinante, denn die Bestandteile [mm] (a_i_i-\lambda) [/mm] schrumpfen ja zu [mm] a_i_i.
[/mm]
[mm] c_{n-1} [/mm] ist der Koeffizient von [mm] \lambda^{n-1}.
[/mm]
Schaust Du die Laplaceentwicklung von [mm] det(A-\lambda [/mm] E) an, dann siehst Du, daß der eine Summand [mm] (a_1_1-\lambda)*...(a_n_n-\lambda) [/mm] ist, die anderen Summanden bestehen aus Produkten, in denen Faktoren mit [mm] \lambda [/mm] höchstens n-2 mal vorkommen.
Du erhältst also den Koeffizienten von [mm] \lambda^{n-1} [/mm] allein aus [mm] (a_1_1-\lambda)*...(a_n_n-\lambda), [/mm] und daß das -Spur ist, sieht man leicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 31.05.2009 | | Autor: | Unk |
>
> Hallo,
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> Du kannst das mit der Laplace-Entwicklung von
> [mm]\chi_A(t)=det(A-\lambda[/mm] E) machen.
>
> [mm]\chi_A(0)[/mm] ergibt ja gerade den Summanden [mm]c_0,[/mm] und wenn Du
> in der Laplace-Entwicklung [mm]\lambda=0[/mm] setzt, bekommst Du
> gerade die Determinante, denn die Bestandteile
> [mm](a_i_i-\lambda)[/mm] schrumpfen ja zu [mm]a_i_i.[/mm]
>
Okay. Eigentlich brauche ich doch hier garnicht Laplace. Ich meine der Koeffizient [mm] c_0 [/mm] enthält kein [mm] \lambda [/mm] (bzw. [mm] \lambda^0=1) [/mm] und ergibt sich also aus [mm] det(0\cdot E-A)=det(-A)=c_0 [/mm] oder? Bloß wie krieg ich dann das [mm] (-1)^n [/mm] da noch rein?
>
> [mm]c_{n-1}[/mm] ist der Koeffizient von [mm]\lambda^{n-1}.[/mm]
> Schaust Du die Laplaceentwicklung von [mm]det(A-\lambda[/mm] E) an,
> dann siehst Du, daß der eine Summand
> [mm](a_1_1-\lambda)*...(a_n_n-\lambda)[/mm] ist, die anderen
> Summanden bestehen aus Produkten, in denen Faktoren mit
> [mm]\lambda[/mm] höchstens n-2 mal vorkommen.
> Du erhältst also den Koeffizienten von [mm]\lambda^{n-1}[/mm]
> allein aus [mm](a_1_1-\lambda)*...(a_n_n-\lambda),[/mm] und daß das
> -Spur ist, sieht man leicht.
In den Teil muss ich mich nochmal ausführlich reindenken. Laplace bedeutet ja die Determinante nach j-ter Zeile oder i-ter Spalte zu entwickeln. Dann erhalte ich doch aber nach der ersten Entwicklung lauter neue Determinanten mit irgendwelchen Vorfaktoren. Jetzt muss ich nur den Teil betrachten, der zu [mm] \lambda^{n-1} [/mm] gehört. Wie sehe ich das aber genau?
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
Gruß Unk
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> >
> > Laplace-Entwicklung von
Hallo,
ich meinte eigentlich die Leibnizformel.
Den Rest dann morgen, falls sich bis dahin niemand findet.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 31.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Du kannst das mit der Laplace-Entwicklung von
> > [mm]\chi_A(t)=det(A-\lambda[/mm] E) machen.
> >
> > [mm]\chi_A(0)[/mm] ergibt ja gerade den Summanden [mm]c_0,[/mm] und wenn Du
> > in der Laplace-Entwicklung [mm]\lambda=0[/mm] setzt, bekommst Du
> > gerade die Determinante, denn die Bestandteile
> > [mm](a_i_i-\lambda)[/mm] schrumpfen ja zu [mm]a_i_i.[/mm]
> >
>
> Okay. Eigentlich brauche ich doch hier garnicht Laplace.
Genau.
> Ich meine der Koeffizient [mm]c_0[/mm] enthält kein [mm]\lambda[/mm] (bzw.
> [mm]\lambda^0=1)[/mm] und ergibt sich also aus [mm]det(0\cdot E-A)=det(-A)=c_0[/mm]
> oder? Bloß wie krieg ich dann das [mm](-1)^n[/mm] da noch rein?
Nun, es gilt [mm] $\det(-A) [/mm] = [mm] (-1)^n \det [/mm] A$. (Benutze z.B. die Leibnizformel oder die Multilinearitaet.)
> > [mm]c_{n-1}[/mm] ist der Koeffizient von [mm]\lambda^{n-1}.[/mm]
> > Schaust Du die Laplaceentwicklung von [mm]det(A-\lambda[/mm] E)
> an,
> > dann siehst Du, daß der eine Summand
> > [mm](a_1_1-\lambda)*...(a_n_n-\lambda)[/mm] ist, die anderen
> > Summanden bestehen aus Produkten, in denen Faktoren mit
> > [mm]\lambda[/mm] höchstens n-2 mal vorkommen.
> > Du erhältst also den Koeffizienten von [mm]\lambda^{n-1}[/mm]
> > allein aus [mm](a_1_1-\lambda)*...(a_n_n-\lambda),[/mm] und daß das
> > -Spur ist, sieht man leicht.
>
> In den Teil muss ich mich nochmal ausführlich reindenken.
> Laplace bedeutet ja die Determinante nach j-ter Zeile oder
> i-ter Spalte zu entwickeln. Dann erhalte ich doch aber nach
> der ersten Entwicklung lauter neue Determinanten mit
> irgendwelchen Vorfaktoren. Jetzt muss ich nur den Teil
> betrachten, der zu [mm]\lambda^{n-1}[/mm] gehört. Wie sehe ich das
> aber genau?
Wie Angela schon schrieb, du brauchst hier die Leibnizformel.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Unk |
> Nun, es gilt [mm]\det(-A) = (-1)^n \det A[/mm]. (Benutze z.B. die
> Leibnizformel oder die Multilinearitaet.)
Okay das habe ich. Mal eine allgemeinere Frage. Das charakteristische Polynom kann ich ja entweder über det(TE-A) berechnen oder det(A-TE). Wenn ich es auf die zweite Art mache und dann [mm] c_0=det(A-0E) [/mm] setze, erhalte ich doch [mm] c_0=det(A) [/mm] und nicht das [mm] (-1)^n [/mm] det(A). Das kann doch aber nicht sein oder?
Über den Teil mit der Spur denke ich noch etwas nach.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mo 01.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Nun, es gilt [mm]\det(-A) = (-1)^n \det A[/mm]. (Benutze z.B. die
> > Leibnizformel oder die Multilinearitaet.)
>
> Okay das habe ich. Mal eine allgemeinere Frage. Das
> charakteristische Polynom kann ich ja entweder über
> det(TE-A) berechnen oder det(A-TE). Wenn ich es auf die
> zweite Art mache und dann [mm]c_0=det(A-0E)[/mm] setze, erhalte ich
> doch [mm]c_0=det(A)[/mm] und nicht das [mm](-1)^n[/mm] det(A). Das kann doch
> aber nicht sein oder?
Das sind zwei verschiedene Definitionen des charakteristischen Polynoms; allgemein gilt [mm] $\det(T [/mm] E - A) = [mm] (-1)^n \det(A [/mm] - T E)$. Deswegen auch der Unterschied.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Unk |
Achso, in den Büchern schreiben die immer nur [mm] det(A-\lambda [/mm] E)=0, was bei der Berechnung aber keine Rolle spielt, weil dass [mm] (-1)^n [/mm] dann ja gleich wegfällt, wenn man dadurch teilt oder? Rechte Seite ist ja Null wenn man die Matrix einsetzt.
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> Achso, in den Büchern schreiben die immer nur [mm]det(A-\lambda[/mm]
> E)=0,
Hallo,
ich habe auch schon andere Bücher in der hand gehabt.
> was bei der Berechnung
der Eigenwerte
> aber keine Rolle spielt, weil
> dass [mm](-1)^n[/mm] dann ja gleich wegfällt, wenn man dadurch teilt
> oder?
Ja.
> Rechte Seite ist ja Null wenn man die Matrix
> einsetzt.
Ja, sowohl bei dem auf der einen als auch auf die andere Art def. charakteristischen Polynom.
Gruß v. Angela
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