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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Di 13.04.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
sei [mm] f_{k}(x)=k*X_{(\bruch{1}{2k},\bruch{1}{k})} [/mm]
(X ist dabei eine charakteristische Funktion ).
Im Skript steht , dass diese Folge [mm] f_{k}(x) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] gegen 0=f(x) konvergiert.
Mir ist jedoch nicht klar , warum das so ist.
Meine Überlegungen waren folgende: da k gegen unendlich geht, strebt k in
[mm] f_{k}(x)= [/mm] k [mm] *X_{(\bruch{1}{2k},\bruch{1}{k})} [/mm] gegen unendlich. Nun, wenn man X für k gegen unendlich betrachtet , dann gehen die beiden Grenzen des offenen Intervalles gegen Null ; das heisst, dass X damit gegen 0 strebt.
Die Frage ist , ob k (rot markiert) schneller gegen unendlich oder X schneller gegen 0 strebt.
Gruss
Igor
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Hallo,
> Hallo,
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> sei [mm]f_{k}(x)=k*X_{(\bruch{1}{2k},\bruch{1}{k})}[/mm]
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> (X ist dabei eine charakteristische Funktion ).
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> Im Skript steht , dass diese Folge [mm]f_{k}(x)[/mm] für jedes x
> gegen 0=f(x) konvergiert.
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> Mir ist jedoch nicht klar , warum das so ist.
> Meine Überlegungen waren folgende: da k gegen unendlich
> geht, strebt k in
> [mm]f_{k}(x)=[/mm] k [mm]*X_{(\bruch{1}{2k},\bruch{1}{k})}[/mm]
> gegen unendlich. Nun, wenn man X für k gegen unendlich
> betrachtet , dann gehen die beiden Grenzen des offenen
> Intervalles gegen Null ; das heisst, dass X damit gegen 0
> strebt.
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> Die Frage ist , ob k (rot markiert) schneller gegen
> unendlich oder X schneller gegen 0 strebt.
Die Frage stellt sich mir nicht, weil hier nichts "gegen 0 strebt".
Vielleicht hilft es dir, wenn ich deine Funktion umschreibe:
[mm] $f_{k}(x)=k*X_{(\bruch{1}{2k},\bruch{1}{k})}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}k, \quad\mbox{ falls }x\in\left(\frac{1}{2k},\frac{1}{k}\right)\\ 0, \quad\mbox{ sonst }\end{cases}$.
[/mm]
Wenn k gegen unendlich geht, wird der erste Fall vollständig eliminiert, es tritt nur noch "sonst" ein! Dabei ist es völlig egal, welchen Wert die Funktion im Fall 1 annehmen würde.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 13.04.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Ist der Wert k bei der charakteristischen Funktion ein Tippfehler bei dir ?
Denn, soweit ich weiß, ist die charakteristische Funktion gleich 1 für x aus...
und sie ist gleich Null für sonst.
Gruss
Igor
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Hey
> Hallo,
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> Ist der Wert k bei der charakteristischen Funktion ein
> Tippfehler bei dir ?
> Denn, soweit ich weiß, ist die charakteristische Funktion
> gleich 1 für x aus...
> und sie ist gleich Null für sonst.
Die natürliche charakteristische Funktion [mm] \chi(E) [/mm] = [mm] \begin{cases}1 \ \text{für} \ x \in E \\ 0 \ \text{für} \ x \notin E \end{cases}
[/mm]
Doch in deinem Fall hast du noch einen Faktor [mm] \red{k} [/mm] davor, also [mm] \red{k}\cdot\chi(E) [/mm] sozusagen.
Somit gilt [mm] k\cdot\chi(E) [/mm] = [mm] \begin{cases}k \ \text{für} \ x \in E \\ 0 \ \text{für} \ x \notin E \end{cases} [/mm] (wobein in deinem Fall, E = [mm] (\frac{1}{2k}, \frac{1}{k}))
[/mm]
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> Gruss
> Igor
>
Grüsse, Amaro
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