charakteristisches Polynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Di 08.11.2016 | | Autor: | noglue |
| Aufgabe | Seien A und B quadrat. 3 [mm] \times [/mm] 3- Matrizen. Zeige folgende Formel:
[mm] |A+tB|=|A|+spur(A^{\#}B)t+Spur(AB^{\#})t^2+|B|t^3,
[/mm]
wobei [mm] A^{\#} [/mm] und [mm] B^{\#} [/mm] die adjunkten Matrizen zu A bzw. B sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
ich habe so angefangen:
[mm] A:=\pmat{a_{11}& a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}} [/mm] und [mm] B:=\pmat{b_{11}& b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}}
[/mm]
dann ist
[mm] |A+tB|=\vmat{ a_{11}+tb_{11}& a_{12}+tb_{12}&a_{13}+tb_{13}\\a_{21}+tb_{21}&a_{22}+tb_{22}&a_{23}-tb_{23}\\a_{31}+tb_{31}&a_{32}+tb_{32}&a_{33}+tb_{33}} [/mm] =
[mm] (a_{11}+tb_{11})(a_{22}+tb_{22})(a_{33}+tb_{33})+
[/mm]
[mm] (a_{12}+tb_{12})(a_{23}-tb_{23})(a_{31}+tb_{31})+
[/mm]
[mm] (a_{13}+b_{13})(a_{21}+tb_{21})(a_{32}+tb_{32})-
[/mm]
[mm] (a_{31}+tb_{31})(a_{22}+tb_{22})(a_{13}+tb_{13})-
[/mm]
[mm] (a_{33}+tb_{33})(a_{21}+tb_{21})(a_{12}+tb_{12})
[/mm]
[mm] =t^3(b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32}
[/mm]
[mm] -b_{31}b_{22}b_{13}-b_{32}b_{23}b_{11}-b_{33}b_{21}b_{12})+
[/mm]
[mm] t^2(18 [/mm] Terme)+t(18 Terme)+...
dabei entpricht [mm] t^3() [/mm] das in der Klammer die determinante von B und der letzte Koeffizient also [mm] c_0=det(A)
[/mm]
habe ich es damit gezeigt? wie zeige ich dass der mittlere Teil die Spur von [mm] A^{\#}B [/mm] bzw. [mm] AB^{\#} [/mm] ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Di 08.11.2016 | | Autor: | meili |
Hallo noglue,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien A und B quadrat. 3 [mm]\times[/mm] 3- Matrizen. Zeige folgende
> Formel:
>
> [mm]|A+tB|=|A|+spur(A^{\#}B)t+Spur(AB^{\#})t^2+|B|t^3,[/mm]
>
> wobei [mm]A^{\#}[/mm] und [mm]B^{\#}[/mm] die adjunkten Matrizen zu A bzw. B
> sind.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hallo,
>
> ich habe so angefangen:
>
> [mm]A:=\pmat{a_{11}& a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}[/mm]
> und [mm]B:=\pmat{b_{11}& b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}}[/mm]
>
> dann ist
>
> [mm]|A+tB|=\vmat{ a_{11}+tb_{11}& a_{12}+tb_{12}&a_{13}+tb_{13}\\a_{21}+tb_{21}&a_{22}+tb_{22}&a_{23}-tb_{23}\\a_{31}+tb_{31}&a_{32}+tb_{32}&a_{33}+tb_{33}}[/mm]
> =
>
> [mm](a_{11}+tb_{11})(a_{22}+tb_{22})(a_{33}+tb_{33})+[/mm]
>
> [mm](a_{12}+tb_{12})(a_{23}-tb_{23})(a_{31}+tb_{31})+[/mm]
>
> [mm](a_{13}+b_{13})(a_{21}+tb_{21})(a_{32}+tb_{32})-[/mm]
>
> [mm](a_{31}+tb_{31})(a_{22}+tb_{22})(a_{13}+tb_{13})-[/mm]
>
> [mm](a_{33}+tb_{33})(a_{21}+tb_{21})(a_{12}+tb_{12})[/mm]
>
> [mm]=t^3(b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32}[/mm]
>
> [mm]-b_{31}b_{22}b_{13}-b_{32}b_{23}b_{11}-b_{33}b_{21}b_{12})+[/mm]
>
> [mm]t^2(18[/mm] Terme)+t(18 Terme)+...
>
> dabei entpricht [mm]t^3()[/mm] das in der Klammer die determinante
> von B und der letzte Koeffizient also [mm]c_0=det(A)[/mm]
>
> habe ich es damit gezeigt? wie zeige ich dass der mittlere
> Teil die Spur von [mm]A^{\#}B[/mm] bzw. [mm]AB^{\#}[/mm] ist?
Am besten erstmal die Spur von [mm]A^{\#}B[/mm] und die Spur von [mm]AB^{\#}[/mm] aufschreiben.
Dann vergleichen, ob das jeweils dem Term in [mm] $t(\ldots)$ [/mm] bzw. in [mm] $t^2(\ldots)$ [/mm] entspricht.
Stimmt das alles, ist die Gleichheit gezeigt. [mm] ($t^3*det(B)$ [/mm] und $det(A)$
hast du ja schon identifiziert.)
Gruß
meili
|
|
|
|
