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| Aufgabe | Berechnen Sie das charakteristische poynom dieser Matrix:
[mm] \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ -3 & -2 & 3\\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix} \in $M_n_n$(K) [/mm] |
Hallo,
Ich weiß schon wie man ein charakteristisches polynom berechnet. Es ist ja die Determinante von [mm] (\lambda [/mm] E - A). Wenn ich diese Determinante allerdings ausrechne erhalte ich das charakteristische Polynom in der Form
[mm] \lambda^3 [/mm] + [mm] a_2\lambda^2 [/mm] + [mm] a_1\lambda [/mm] + [mm] a_0. [/mm] Wie kommt man jetzt auf die Form, in der man die Nullstellen sofort erkennt, also die Form in der das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfallen ist.
Ich habe ürigens irgendwo gelesen, dass es Formeln zur Berechnung von Nullstellen von Polynomen bis zum 4.ten Grad gibt. Ist das richtig?! Also für den ersten und zweiten Grad ist mir das klar. Aber wie sieht das mit dem 3ten und 4ten Grad aus? Kann mir da jemand etwas zu sagen?
Bin für jede Hilfe dankbar!
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> Berechnen Sie das charakteristische poynom dieser Matrix:
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> [mm]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ -3 & -2 & 3\\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix} \in[/mm]
> [mm]M_n_n[/mm](K)
> Hallo,
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> Ich weiß schon wie man ein charakteristisches polynom
> berechnet. Es ist ja die Determinante von [mm](\lambda[/mm] E - A).
> Wenn ich diese Determinante allerdings ausrechne erhalte
> ich das charakteristische Polynom in der Form
> [mm]\lambda^3[/mm] + [mm]a_2\lambda^2[/mm] + [mm]a_1\lambda[/mm] + [mm]a_0.[/mm] Wie kommt man
> jetzt auf die Form, in der man die Nullstellen sofort
> erkennt, also die Form in der das charakteristische Polynom
> in Linearfaktoren zerfallen ist.
Hallo,
schade, daß Du nicht das konkrete charakteristische Polynom mit angibst.
Oft (bei Übungsaufgaben) kommt man bei ganzzahligen normierten Polynomen mit dem fröhlichen Nullstellenraten weiter; wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, sind sie Teiler des konstanten Gliedes.
Hat man eine Nullstelle gefunden, klammert man den entsprechenden Term aus, und hat das Problem um einen Grad reduziert, bei einem kubischen Polynom wären jetzt also die Nullstellen eines quadratischen zu bestimen.
Auch ein Blick auf den Graphen kann hilfreich sein.
Ansonsten: Näherungsverfahren.
Von dem Hantieren mit den Formeln zur Bestimmung der Nullstellen rate ich Dir ab, es ist sehr mühsam. die Formeln von Cardano zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 3.Grades findest Du ![[]](/images/popup.gif) hier, die Formel für Polynome 4.Grades finde ich gerade nicht im Internet, aber ich weiß, daß sie im Bronstein stehen.
Gruß v. Angela
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hallo,
danke erstmal für die Antwort.
Also, ich habs jetzt nochmal ausgerechnet: Wenn ich mich nicht verrechnet habe ist bei mir das charakteristische Polynom [mm] T^3 [/mm] - [mm] T^2- [/mm] T +1
Im Skript ist das charakteristische Polynom nun angegeben als (T - [mm] 1)^2(T [/mm] + 1)
Wenn ich jetzt also die Methode anwende, wie du sie eben beschrieben hast: Also, indem ich teste ob die ganzzahligen Teiler des konstanten Gliedes ( die negativen und die positiven) Nullstellen sind, komme ich hier in diesem Fall weiter und ich erhalte 1 und -1 als Nullstellen. Aber wie finde ich dann zusätzlich heraus wie die algebraischen Vielfachheiten der beiden Nullstellen sind??
Weil ich das doch wissen muss, damit ich das Polynom in Linearfaktoren zerlegt richtig aufschreiben kann, oder?
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> hallo,
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> danke erstmal für die Antwort.
> Also, ich habs jetzt nochmal ausgerechnet: Wenn ich mich
> nicht verrechnet habe ist bei mir das charakteristische
> Polynom [mm]T^3[/mm] - [mm]T^2-[/mm] T +1
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> Im Skript ist das charakteristische Polynom nun angegeben
> als (T - [mm]1)^2(T[/mm] + 1)
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> Wenn ich jetzt also die Methode anwende, wie du sie eben
> beschrieben hast: Also, indem ich teste ob die ganzzahligen
> Teiler des konstanten Gliedes ( die negativen und die
> positiven) Nullstellen sind, komme ich hier in diesem Fall
> weiter und ich erhalte 1 und -1 als Nullstellen. Aber wie
> finde ich dann zusätzlich heraus wie die algebraischen
> Vielfachheiten der beiden Nullstellen sind??
Hallo,
Du weißt nun, daß (x-1) und (x+1) Teiler von [mm] x^3-X^2-x+1 [/mm] sind.
Dividierst Du nun [mm] x^3-X^2-x+1 [/mm] durch [mm] (x-1)*(x+1)=x^2-1, [/mm] so erhältst Du den letzten Linearfaktor.
Gruß v. Angela
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Ok,
vielen dank.. das hat mir schonmal weitergeholfen!
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![[fechtduell]](/images/smileys/fechtduell.gif "[fechtduell]"){kind=small}
