chinesischer Restsatz?! < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | z.z.: R[X] [mm] \cong \IF_{2} [/mm] [X] x [mm] \IF_{5}[X], [/mm] wobei R= [mm] \IZ [/mm] / 10 * [mm] \IZ
[/mm]
und finden Sie f, g [mm] \in [/mm] R[X], so dass f Bild (1,0) und g Bild (0,1) in [mm] \IF_{2} [/mm] [X] x [mm] \IF_{5}[X] [/mm] haben |
Hallo,
vllt kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Ich bin mir recht sicher, dass ich hier über den chinesischen Restsatz gehen muss, allerdings habe ich bis jetzt noch nie mit ihm gearbeitet und bin mir nicht sicher, wie das geht :-(
Mir fehlt hier leider jeglicher Ansatz...
Liebe Grüße
Sabine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sabine!
> z.z.: [mm]R[X] \cong \IF_{2}[X] \times\IF_{5}[X],[/mm] wobei [mm]R= \IZ / 10 * \IZ[/mm]
> und finden Sie [mm]f, g \in R[X][/mm], so dass f Bild (1,0) und g
> Bild (0,1) in [mm]\IF_{2} [X] \times\IF_{5}[X][/mm] haben
> Hallo,
> vllt kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Ich bin mir
> recht sicher, dass ich hier über den chinesischen Restsatz
> gehen muss, allerdings habe ich bis jetzt noch nie mit ihm
> gearbeitet und bin mir nicht sicher, wie das geht :-(
Tipp: versuche die Elemente f und g durch den chinesischen Restsatz zu bestimmen. Für 2 und 5 lautet er ja:
Zu jedem Paar $(a,b)$ ganzer Zahlen gibt es eine ganze Zahl $x$, die die Kongruenzen
[mm] x \equiv a \bmod{2} [/mm] und [mm] x \equiv b \bmod{5} [/mm]
erfüllt. Alle Lösungen sind zueinander kongruent [mm] $\bmod{10}$.
[/mm]
Welche Lösungen bekommst du für $(a,b)=(1,0)$ bzw. $(a,b)=(0,1)$ ?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
Also $ x [mm] \equiv [/mm] a [mm] \bmod{2} [/mm] $ und $ x [mm] \equiv [/mm] b [mm] \bmod{5} [/mm] $ bestimme ich doch so, oder (für (0,1)):
x= 2a und x= 5b + 1
<=> 2a = 5b +1
<=> 2a - 5b = 1
hmm, ich weiß, ich habe sowas schonmal gerechnet, aber kann mich gerade nicht mehr so wirklich daran erinnern :-(
könntest du mir da evtl. mal auf die Sprünge helfen?!
Ach ja, aber wenn ich das doch jetzt ausgerechnet habe...dann habe ich doch immer noch nicht gezeigt, dass: $ R[X] [mm] \cong \IF_{2}[X] \times\IF_{5}[X], [/mm] $ gilt, oder?
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sabine!
> Hallo Rainer!
> Also [mm]x \equiv a \bmod{2}[/mm] und [mm]x \equiv b \bmod{5}[/mm] bestimme
> ich doch so, oder (für (0,1)):
>
> x= 2a und x= 5b + 1
$(0,1)$ bedeutet doch $a=0$, $b=1$.
> Ach ja, aber wenn ich das doch jetzt ausgerechnet
> habe...dann habe ich doch immer noch nicht gezeigt, dass:
> [mm]R[X] \cong \IF_{2}[X] \times\IF_{5}[X],[/mm] gilt, oder?
Nein, aber damit hast du einen großen Schritt in Richtung Definition des Ringhomomorphismus von $R[X]$ nach $ [mm] \IF_{2}[X] \times\IF_{5}[X]$ [/mm] gemacht, denn du kennst die zwei Elemente $f,g [mm] \in [/mm] R[X]$ die auf $(1,0),(0,1) [mm] \in \IF_{2}[X] \times\IF_{5}[X]$ [/mm] abgebildet werden.
Viele Grüße
Rainer
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Hey,
also wenn mich nicht alles täuscht, so ist f = 5 und g = 16, oder?!
Das heißt also, dass ich so auf jeden fall schonmal das null- bzw. einselement gefunden habe...und das hilft mir wie weiter?!? - oh man, ich verstehs einfach nicht :-(
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Hallo Sabine,
also so groß musst du gar nicht erst werden. Wenn du dir die Gleichungen
(i) x = 2a +1
(ii) x = 5b
anschaust, erkennst du, dass die Restklasse 5 bzw. 6 deine Kriterien für f und g erfüllen.
Bezüglich des Homomorphismus: Überlege dir, wie / wann der chin. Restsatz angewand wird. Wie sind denn der Schnitt von [mm] \IF_{2} [/mm] und [mm] \IF_{5} [/mm] aus?! - und wie sieht [mm] \IZ/\IZ_{10} [/mm] aus?
Viele Grüße
Stefan
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