chinesischer Restsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 So 07.08.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
der chinesische Restsatz besagt: für [mm] n_1, [/mm] ..., [mm] n_k \in \IN_{>1} [/mm] mit [mm] ggt(n_i,n_j)=1 [/mm] für alle i,j=1,...,k und [mm] i\not=j [/mm] ist die Abbildung f: [mm] \IZ_N \to \IZ_n_1 [/mm] x ... x [mm] \IZ_n_k, \overline{z} \mapsto (\overline{z}, [/mm] ..., [mm] \overline{z}) [/mm] mit [mm] N:=n_1 [/mm] * ... * [mm] n_k [/mm] ein Ringisomorphismus. Warum folgt daraus:
[mm] x\equiv [/mm] a mod N [mm] \gdw x\equiv [/mm] a mod [mm] n_1, [/mm] ... , [mm] x\equiv [/mm] a mod [mm] n_k
[/mm]
Vielen Dank.
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 So 07.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Katrin!
> der chinesische Restsatz besagt: für [mm]n_1,[/mm] ..., [mm]n_k \in \IN_{>1}[/mm]
> mit [mm]ggt(n_i,n_j)=1[/mm] für alle i,j=1,...,k und [mm]i\not=j[/mm] ist
> die Abbildung f: [mm]\IZ_N \to \IZ_n_1[/mm] x ... x [mm]\IZ_n_k, \overline{z} \mapsto (\overline{z},[/mm]
> ..., [mm]\overline{z})[/mm] mit [mm]N:=n_1[/mm] * ... * [mm]n_k[/mm] ein
> Ringisomorphismus. Warum folgt daraus:
> [mm]x\equiv[/mm] a mod N [mm]\gdw x\equiv[/mm] a mod [mm]n_1,[/mm] ... , [mm]x\equiv[/mm] a mod
> [mm]n_k[/mm]
Wenn $x [mm] \equiv [/mm] a [mm] \pmod{N}$ [/mm] ist, dann gilt auch fuer jeden Teiler $n$ von $N$, dass $x [mm] \equiv [/mm] a [mm] \pmod{n}$ [/mm] ist. Dazu brauchst du den Chinesischen Restsatz nicht und ich vermute es ist auch eher die andere Richtung, die dich interessiert :)
Wenn $x [mm] \equiv [/mm] a [mm] \pmod{n_i}$ [/mm] ist, dann gilt in [mm] $\IZ_{n_i}$: $\overline{a} [/mm] = [mm] \overline{x}$.
[/mm]
Daraus folgt also [mm] $(\overline{a}, \dots, \overline{a}) [/mm] = [mm] (\overline{x}, \dots, \overline{x})$ [/mm] in [mm] $\IZ_{n_1} \times \dots \times \IZ_{n_k}$. [/mm] Jetzt steht da aber $f(a) = f(x)$, womit nach dem Chinesischen Restsatz [mm] $\overline{a} [/mm] = [mm] \overline{x}$ [/mm] in [mm] $\IZ_N$ [/mm] gilt -- was wieder bedeutet, dass $a [mm] \equiv [/mm] x [mm] \pmod{N}$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 So 07.08.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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