cholesky zerlegung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Do 05.05.2005 | | Autor: | lumpi |
Hallo zusammen!
Hab mal wieder ein numerisches Problem! Und zwar soll ich alle reelen werte einer Matrix berechnen für die die matrix positiv definit ist!
Matrix sieht wie folgt aus: [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\-1 & 2 & -a & 0 \\ 0 & -a & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2}
[/mm]
wie stell ich das an? die cholesky zerlegung ist kein Problem! Aber woran seh ich bei der Cholesky zerlegung ob meine Matrix jetzt postiv definit ist?
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Hallo lumpi,
Wenn die Cholesky-Zerlegung existiert ist die Matrix auch positiv definit Und (da sie symmetrisch ist) umgekehrt.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 06.05.2005 | | Autor: | lumpi |
hallöchen!
Verstehen tu ich ja shcon was du schreibst, aber ich weiß nicht wie ich das in die Tat umsetzen soll! Ich hab zuerst gedacht das die eigenwerte der matrix bei der ich die cholesky zerlegung durchführe auf der diagonalmatrix zu finden sind!Hab das mal an nem beispiel nachgerechnet dem ist aber leider nicht so! Mein konkretes Problem ist eigentlich das ich nicht weiß, wie ich nach der cholesky zerlegung weitermachen soll!Kann ich anhand der determinante auf die reellen werte von a schließen?aber dann bräucht ich ja keine cholesky zerlegung zu machen!
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Hallo lumpi,
Cholesky Faktorisierung von A heißt ja:
Berechne L mit [mm] A=LL^T
[/mm]
gibt es solch ein L ist A notwendigerweise positiv definit wg. [mm] x^TAx=x^TLL^Tx=(x^TL)(L^Tx)=(L^Tx)^T(L^Tx)=y^Ty>0 [/mm] für x>0 und L regulär.
Wenn die Matrix nicht positiv definit ist kannst Du keine Cholesky Faktorisierung berechnen. Also ist dann a so zu wählen das die Cholesky Faktorisierung nicht durchführbar ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 08.05.2005 | | Autor: | lumpi |
hi!
Also ich hab die Zerlegung anders gelernt und zwar ist [mm] A=LDL^{T}!Gilt [/mm] deine Gleichung dann trotzdem noch?!
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Hallo lumpi,
Dann endet die Gleichungskette offenbar bei [mm]y^TDy[/mm]. Das ist nicht immer größer Null. Wann das kleiner Null ist bekommst Du bestimmt selbst raus.
gruß
mathemaduenn
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Hallo lumpi,
Ich habe nochmal in 2 Büchern geblättert.
Numerische lineare Algebra(Kielbasinski/Schwetlick)
Numerische Mathematik kompakt(Plato)
Dort wird mit Choleski Faktorisierung(Zerlegung) die Zerlegung [mm]A=LL^T[/mm] bezeichnet. Im Fall von [mm]A=LDL^T[/mm] wird von nur Faktorisierung gesprochen also keine spezielle Bezeichnung verwendet. Aber Bezeichnungen sind ja bekanntlich manchmal unterschiedlich.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 So 18.11.2007 | | Autor: | marcsn |
Hallo lumpi,
kommst wohl auch aus Münster was ;) Hab das selbe Problem bei der Aufgabe gehabt und hab das jetzt einfach über das Hauptminorenkriterium gelöst.
Hier mal der Link zum Threat:
https://matheraum.de/read?t=327481
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