cos^2sin < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Bastiane,
> Hallo zusammen!
>
> Innerhalb einer etwas längeren Aufgabe würde ich gerne
> folgendes Integral berechnen:
>
> [mm]\integral_0^1 \cos^2(2\pi t)\sin(2\pi t)\:dt[/mm]
>
> Ich habe schon ein bisschen in
> ![[]](/images/popup.gif) diesen tausend Formeln hier
> rumgesucht, aber bisher nichts wirklich gescheites
> gefunden. Oder hilft es mir weiter, wenn ich
> [mm]\integral_0^1\bruch{1}{2}\cos(4\pi t)\sin(2\pi t)\:dt[/mm] habe?
> Der andere Summand fällt nämlich wohl weg, und dann bleibt
> das übrig.
>
> Oder kann ich an mein Ausgangsintegral einfach mit
> partieller Integration dran gehen? Wenn ja, wie?
>
> Wäre super, falls jemand einen Tipp hätte...
das integral sieht komplizierter aus als es ist...  eigentlich steht da ja (modulo einer konstanten) eine verkettete funktion mal ihrer inneren ableitung, so dass du leicht substituieren kannst.
gruß
matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo MatthiasKr!
Werde mir gleich Leopolds Antwort genauer durchlesen, habe aber gerade hierzu eine Frage...
> Hallo Bastiane,
>
> > Hallo zusammen!
> >
> > Innerhalb einer etwas längeren Aufgabe würde ich gerne
> > folgendes Integral berechnen:
> >
> > [mm]\integral_0^1 \cos^2(2\pi t)\sin(2\pi t)\:dt[/mm]
> >
> > Ich habe schon ein bisschen in
> >
> diesen tausend Formeln hier
> > rumgesucht, aber bisher nichts wirklich gescheites
> > gefunden. Oder hilft es mir weiter, wenn ich
> > [mm]\integral_0^1\bruch{1}{2}\cos(4\pi t)\sin(2\pi t)\:dt[/mm] habe?
> > Der andere Summand fällt nämlich wohl weg, und dann bleibt
> > das übrig.
> >
> > Oder kann ich an mein Ausgangsintegral einfach mit
> > partieller Integration dran gehen? Wenn ja, wie?
> >
> > Wäre super, falls jemand einen Tipp hätte...
>
> das integral sieht komplizierter aus als es ist...
> eigentlich steht da ja (modulo einer konstanten) eine
> verkettete funktion mal ihrer inneren ableitung, so dass du
> leicht substituieren kannst.
Substitution ist nicht so mein Ding, und ich sehe hier die Verknüpfung nicht. Es gilt doch [mm] \cos^2=\cos*\cos [/mm] und das ist doch nicht gleich [mm] \cos(\cos)!? [/mm] Auch [mm] u=\cos(2\pi [/mm] t) hilft mir irgendwie nicht, was steht denn dann danach unter dem Integral?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Zum einen ist mit [mm] $\cos^2(z)$ [/mm] i.d.R. stets [mm] $\cos^2(z) [/mm] \ = \ [mm] [\cos(z)]^2 [/mm] \ = \ [mm] \cos(z)*\cos(z)$ [/mm] gemeint.
Für Dein Integral: substituiere $u \ := \ [mm] \cos(2\pi*t)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dt} [/mm] \ = \ [mm] -\sin(2\pi*t)*2\pi [/mm] \ = \ [mm] -2\pi*\sin(2\pi*t)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Aus meinem obigen Hinweis folgt ja auch (durch Umstellung): $dt \ = \ [mm] \bruch{du}{-2\pi*\sin(2\pi*t)}$ [/mm] .
Dies setzen wir nun in das Integral ein (einschließlich $u \ := \ [mm] \cos(2\pi*t)$ [/mm] ). Damit kürzt sich ja rund "die Hälfte" raus:
[mm] $\integral{\red{\cos^2(\2\pi*t)}*\sin(2\pi*t) \ \blue{dt}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{u^2}*\sin(2\pi*t) \ \blue{\bruch{du}{-2\pi*\sin(2\pi*t)}}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2\pi}*\integral{u^2 \ du} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:05 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Loddar!
Vielen Dank erstmal...
> Aus meinem obigen Hinweis folgt ja auch (durch Umstellung):
> [mm]dt \ = \ \bruch{du}{-2\pi*\sin(2\pi*t)}[/mm] .
Ja, das hatte ich auch noch. Ich hatte dann nur auch den [mm] \sin [/mm] ersetzen wollen, und dann hatte ich quasi doppelt was ersetzt, so dass sich gerade wieder gar nichts mehr gekürzt hat. Oder so ähnlich. Und ich hatte versucht, mich an die Formel in der Formelsammlung zu halten. Irgendwie sehe ich nämlich jetzt nicht mehr, was das damit zu tun hat...
> Dies setzen wir nun in das Integral ein (einschließlich [mm]u \ := \ \cos(2\pi*t)[/mm]
> ). Damit kürzt sich ja rund "die Hälfte" raus:
>
> [mm]\integral{\red{\cos^2(\2\pi*t)}*\sin(2\pi*t) \ \blue{dt}} \ = \ \integral{\red{u^2}*\sin(2\pi*t) \ \blue{\bruch{du}{-2\pi*\sin(2\pi*t)}}} \ = \ -\bruch{1}{2\pi}*\integral{u^2 \ du} \ = \ ...[/mm]
Das verstehe ich - und was ist jetzt mit den Grenzen? Bleiben die einfach bei 0 und 1?
Ist aber jetzt nicht ganz so wichtig - deswegen poste ich es nicht mehr als Frage - werde wohl bald schlafen gehen. Hatte mich nur interessiert und vor allem geärgert, dass ich so weit gekommen war und dann an einer simplen Substitution trotz zweier Erklärungen scheitern sollte. Aber falls du noch da bist, kannst du ja kurz ein: ja, die Grenzen bleiben, oder: nein, die Grenzen ändern sich zu sowieso - schreiben. 
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Für die Integrationsgrenzen gibt es nun zwei verschiedene Vorgehensweisen:
Entweder löst Du das Integral zunächst als unbestimmtes Integral und führst als letzten Schritt die Resubstitution zur Variablen $t_$ durch. Dann rechnest Du mit den gegebenen Werte $0_$ und $1_$ .
Oder aber Du ersetzt die $t_$-Integrationsgrenzen [mm] $t_1 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $t_2 [/mm] \ = \ 1$ zu $u_$-Grenzen:
[mm] $u_1 [/mm] \ = \ [mm] u(t_1) [/mm] \ = \ u(0) \ = \ [mm] \cos(2\pi*0) [/mm] \ = \ [mm] \cos(0) [/mm] \ = \ 1$
[mm] $u_2 [/mm] \ = \ [mm] u(t_2) [/mm] \ = \ u(1) \ = \ [mm] \cos(2\pi*1) [/mm] \ = \ [mm] \cos(2\pi) [/mm] \ = \ 1$
Damit wäre dann auch schnell der Wert des gesuchten Integrals gelöst .
Gruß
Loddar
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Du kannst das Integral sofort mit der Substitution [mm]u = \cos{(2 \pi t)}[/mm] lösen. Schöner ist aber der folgende Weg, der die Punktsymmetrie zur Stelle [mm]t = \frac{1}{2}[/mm] auf der Abszissenachse verwendet. Setzt man nämlich
[mm]f(t) = \cos^2{(2 \pi t)} \, \sin{(2 \pi t)}[/mm]
so gilt:
[mm]f \left( \frac{1}{2} + t \right) = \cos^2{( \pi + 2 \pi t )} \, \sin{( \pi + 2 \pi t )} = - \cos^2{(2 \pi t )} \, \sin{(2 \pi t )}[/mm]
Denn Cosinus und Sinus ändern bei einer Verschiebung um [mm]\pi[/mm] gerade ihr Vorzeichen. Beim Cosinus wird dies durch das Quadrieren wieder aufgehoben, beim Sinus jedoch nicht.
Auf der anderen Seite gilt:
[mm]f \left( \frac{1}{2} - t \right) = \cos^2{( \pi - 2 \pi t )} \, \sin{( \pi - 2 \pi t )} = - \cos^2{(- 2 \pi t )} \, \sin{(- 2 \pi t )} = \cos^2{(2 \pi t )} \, \sin{(2 \pi t )} [/mm]
Zuletzt wurde die Geradheit der Cosinusfunktion und die Ungeradheit der Sinusfunktion verwendet.
Vergleicht man beide Ausdrücke, so sieht man:
[mm]f \left( \frac{1}{2} + t \right) = - f \left( \frac{1}{2} - t \right)[/mm]
Und das ist die oben angesprochene Punktsymmetrie. Damit ist aber der Wert des Integrals klar.
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![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
und viele Grüße
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
