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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 So 06.04.2008 | | Autor: | puldi |
[mm] \integral_{}^{}{cox³(x) dx}
[/mm]
u' = - sin(x)
u = cos(x)
v' = cos²
v = -2*cos*sin
- 2*cos²*sin - [mm] \integral_{}^{}{2sin²*cos dx}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Bzw. wie geht das weiter?
Danke!
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> [mm]\integral_{}^{}{cox³(x) dx}[/mm]
>
> u' = - sin(x)
>
> u = cos(x)
>
> v' = cos²
>
> v = -2*cos*sin
Hallo,
Du hast hier bei Deiner partiellen Integration, welche vom Gedanken her richtig ist, etwas verwurschtelt, denn -2cos(x)sin(x) ist nicht die Stammfunktion von [mm] cos^2(x), [/mm] sondern die Ableitung.
Mach's nochmal, und zwar besser so:
[mm] u=cos^2(x) [/mm] v=...
u'=... v'=cos(x)
(Denn [mm] cos^2 [/mm] kannst Du leicht ableiten und cos leicht integrieren.)
Wenn Du dann partiell integriert hast, könnte es nützlich sein, wenn Du Dich an [mm] sin^2=1-cos^2 [/mm] erinnerst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 06.04.2008 | | Autor: | puldi |
Jetzt hab ich raus:
cos² * sin + 2 *sin * (1/3)
Stimmt das?
Danke für deine Hilfe!
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Hallo!
> Jetzt hab ich raus:
>
> cos² * sin + 2 *sin * (1/3)
>
> Stimmt das?
>
> Danke für deine Hilfe!
Versuche folgendes:
[mm] \integral_{}^{}{(cos(x))^{3} dx}=\integral_{}^{}{(cos^{2}(x)\cdot cos(x) dx}=\integral_{}^{}{(1-(sin^{2}(x))\cdot(cos(x)) dx}
[/mm]
Substituiere nun: [mm] u=(1-sin^{2}(x))
[/mm]
Versuch mal damit weiter zukommen: Am ende solltest du folgendes Ergebnis herausbekommen: [mm] -\bruch{1}{3}\cdot sin(x)\cdot(sin^{2}-3)
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 06.04.2008 | | Autor: | puldi |
[mm] \integral_{}^{}{sin³ dx} [/mm] =
-cos + 1/3 cos³
Müsste doch stimmen, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 06.04.2008 | | Autor: | puldi |
Ich denke, dass vll das Integral aus [mm] cos^4 [/mm] bzw. [mm] sin^4 [/mm] in der arbeit gefragt werden könnte.
Im Moment sehe ich nicht, wie das u lösen wäre.
Habt ihr eine Idee?
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Hallo puldi,
> Ich denke, dass vll das Integral aus [mm]cos^4[/mm] bzw. [mm]sin^4[/mm] in
> der arbeit gefragt werden könnte.
>
> Im Moment sehe ich nicht, wie das u lösen wäre.
>
> Habt ihr eine Idee?
[mm]\cos^{4}\left(x\right)=\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{2}[/mm]
[mm]\cos^{2}\left(x\right)[/mm] kann mit Hilfe der Additionstheoreme anders ausgedrückt werden.
Multiplizierst Du das aus, stößt Du zwangsläufig wieder auf ein [mm]\cos^{2}[/mm]. Dieses wird ebenfalls durch die Additionstheoreme ersetzt.
Für [mm]\sin^{4}[/mm] gilt dasselbe.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 06.04.2008 | | Autor: | puldi |
Sieht kompliziert aus...
Das Integral aus (cos²) ist ja:
(cos * sin + x) / 2
Kann man das i-wie verwenden um das Integral aus [mm] cos^4 [/mm] zu berechnen?
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Hallo puldi,
> Sieht kompliziert aus...
>
>
> Das Integral aus (cos²) ist ja:
>
> (cos * sin + x) / 2
>
> Kann man das i-wie verwenden um das Integral aus [mm]cos^4[/mm] zu
> berechnen?
Irgendwie schon.
[mm]\integral_{}^{}{\cos^{4}\left(x\right) dx}=\integral_{}^{}{\left(1-\sin^{2}\left(x\right)\right)*\cos^{2}\left(x\right) dx}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}{\cos^{2}\left(x\right) dx}-\integral_{}^{}{\sin^{2}\left(x\right)*\cos^{2}\left(x\right) dx}[/mm]
[mm]=\bruch{x+\sin\left(x\right)*\cos\left(x\right)}{2}-\integral_{}^{}{\sin^{2}\left(x\right)*\cos^{2}\left(x\right) dx}[/mm]
Und jetzt muß [mm]\sin^{2}\left(x\right)*\cos^{2}\left(x\right)[/mm] durch ein oder mehrere Additionstheoreme ersetzt werden.
Gruß
MathePower
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Hallo!
Da hat MathePower vollkommen Recht.
Du kannst dir vielleicht folgende Formel merken.
[mm] \integral_{}^{}{sin^{n}(x) dx}=\bruch{n-1}{n}\cdot\integral_{}^{}{sin^{n-2}(x) dx}-\bruch{cos(x)sin^{n-1}(x)}{n}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cos^{n}(x) dx}=\bruch{n-1}{n}\cdot\integral_{}^{}{cos^{n-2}(x) dx}+\bruch{cos^{n-1}(x)sin(x)}{n}
[/mm]
Für den Fall n=4 ist es ja nicht so schwer 
Aber wenn ihr das noch nicht hattet dann kannst du auch das Integral mit den Additionstheoremen auch berechnen
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 06.04.2008 | | Autor: | puldi |
Hallo,
ne, das hatten wir noch nicht..
Kannst du mir bitte mal vorrechnen, wie das mit den Additionstheoremen funktioniet, weio für cos, cos² und cos³ kann ich es aber ich versdtehs nicht ganz wies bei [mm] cos^4 [/mm] gehen soll.
Danke!
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Hallo,
ich mach's Dir jetzt mal für [mm] cos^4 [/mm] vor - richtig hausbacken, außer [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] brauchst Du fast nichts zu wissen.
[mm] \integral{cos^4x dx}=\integral{cos^3x*cosx dx}
[/mm]
u=cos^3x v=...
[mm] u'=-3cos^2(x)sin(x) [/mm] v'=cos x
[mm] ...=cos^3(x)sin(x) [/mm] - [mm] \integral{-3cos^2(x)sin(x)*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =cos^3(x)sin(x) [/mm] +3 [mm] \integral{cos^2(x)sin^2(x)dx}
[/mm]
[mm] =cos^3(x)sin(x)+3\integral{cos^2(x)(1-cos^2)dx}
[/mm]
[mm] =cos^3(x)sin(x)+3\integral{cos^2(x)}-3\integral{cos^4(x)dx}
[/mm]
Das Integral v. [mm] cos^2 [/mm] kennst Du bereits, Du kannst es berechnen, es muß Dir keine Sorgen machen, ich lasse s jetzt einfach mal als Integral dastehen - Du kansnt es ja durch den passenden Ausdruck ersetzen, wenn Du willst.
Nun kommt ein kleiner Trick, den man oft beim Integrieren von trig. Funktionen anwendet: Du hast ja jetzt
[mm] \integral{cos^4x dx}=cos^3(x)sin(x)+3\integral{cos^2(x)}-3\integral{cos^4(x)dx} [/mm]
Addiere nun auf beiden Seiten [mm] 3\integral{cos^4(x)dx}, [/mm] Du erhältst
[mm] 4\integral{cos^4x dx}=cos^3(x)sin(x)+3\integral{cos^2(x)}.
[/mm]
Division durch 4 liefert das Ergebnis.
Gruß v. Angela
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> [mm]\integral_{}^{}{sin³ dx}[/mm] =
>
> -cos + 1/3 cos³
>
> Müsste doch stimmen, oder?
Hallo,
Du kannst das gut selbst prüfen.
Wenn die Ableitung von -cos(x)+ 1/3 cos³(x) ergibt sin³x, so ist alles richtig. Rechne es mal aus. (es stimmt.)
Gruß v. Angela
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