cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der Differenzialrechnung:
[mm] cosh(x)^2 [/mm] - [mm] sinh(x)^2 [/mm] = 1 |
Also ich hab das ganze erstmal ohne Differenzialrechnung gemacht, mit
cosh(x) = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}
[/mm]
sinh(x) = [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}
[/mm]
ergibt sich für
[mm] cosh(x)^2 [/mm] - [mm] sinh(x)^2 [/mm] = [mm] (\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}
[/mm]
Mit der 3. Binomischen Formel ergibt sich:
= [mm] (\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}) (\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{2})
[/mm]
= [mm] e^{-x} [/mm] * [mm] e^{x} [/mm] = [mm] e^{x-x} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm] = 1
o.k.!
Wie funktioniert das ganze aber mit Differenzialrechnung?
Hatte überlegt dass die Schreibweise
cosh(x)*cosh(x) - sinh(x)*sinh(x) = 1
nahe legt dass es sich um die Ableitung mittels Produktregel handelt also
[mm] \underbrace{cosh(x)}_{=:f'}*\underbrace{cosh(x)}_{=:g} [/mm] - [mm] \underbrace{sinh(x)}_{=:f}*\underbrace{sinh(x)}_{=:g'}
[/mm]
aber 1. müsste bei der Produktregel anstelle des - ein + stehen. und 2. führt dieser ansatz zu keinem Ergebnis. (ich müsste ja dann irgendwie x herausbekommen, weil die ableitung von x ja wieder 1 wäre)
Hat irgendjemand eine Idee wie man das ganze also mit Differenzialrechnung machen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn du beide Seiten nach x ableitest bleibt rechts eine 0 stehen (denn 1 abgeleitet ist ja 0) und links wendest du die Produktregel an, ja. In der Produktregel kommt zwar ein + vor, aber bei dem abzuleitenden Ausdruck muss kein + vorkommen. Nur eben ein Produkt.
(cosh²x)' ist dann also sinhx*coshx+coshx+sinhx.
Edit: Vielleicht wäre es auch so besser:
Du nimmst f(x)=cosh²x-sinh²x und leitest das ab. Da sollte dann f'(x)=0 raus kommen. Damit weißt du, dass f konstant ist. Das heißt, dass egal für welches x immer die selbe Zahl für f heraus kommt. Setzt du also für x=0 ein erhältst du cosh²0-sinh²0=1 und damit gilt auch cosh²x-sinh²x=1 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Mo 04.05.2009 | | Autor: | glie |
Hallo teufel,
wenn ich dich recht verstehe, dann willst du beide Seiten ableiten und dann soll bei beiden Null herauskommen.
Aber nur weil die Ableitungen von zwei Funktionen gleich sind, müssen ja noch lange nicht die beiden Funktionen gleich sein.
Oder hab ich jetzt da was falsch verstanden?
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hast Recht, man sollte es wie nach meinem "Edit:" machen.
Sonst wäre ja auch x=x+1. Ich komme langsam aus der Übung, nehm ich an. :/
Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Mo 04.05.2009 | | Autor: | glie |
Hallo,
so sieht es doch jetzt richtig schön aus! 
Gruß Glie
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