coshx=y aufleiten nach e^y < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Lösen sie die Gleichung coshx=y und sinhx=y nach [mm] e^y [/mm] aus, und leiten sie die folgenden beziehungen her:
arsinhy = [mm] ln(y+\wurzel{y^2+1} [/mm] yR
arcosh+y = [mm] ln(y+\wurzel{y^2-1} [/mm] y>=0 |
zum 1. teil der frage:coshx=y nach [mm] e^y
[/mm]
cosh(x) = [mm] (e^x+e^{-x})/2 [/mm] = y
[mm] e^{(e^x+e^-x)/2}
[/mm]
mir fällt aber gerade nichts ins auge, wie ich das noch vereinfachen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobus!
Ersetze mal zunächst $u \ := \ [mm] e^x$ [/mm] umd multipliziere anschließend die Gleichung mit $u_$ . Damit erhältst Du dann eine quadratische gleichung, die Du wie gewohnt mit der  p/q-Formel lösen kannst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
müsse ich dann nicht [mm] u:=e^x [/mm] und v:=e^(-x) ersetzen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobus!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt doch [mm] $e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{u}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
oh verdammt, daran habe ich nicht gedacht. dann habe ich:
cosh(x) = u/2 + 1/u |da cosh = y
y= u/2 + 1/u
falls ich nun die gleichung mit u multipliziere:
y*u = [mm] u^2/2 [/mm] + 1
[mm] (1/2)*u^2 [/mm] - y*u + 1 = 0
x1=y+ [mm] \wurzel{y^2+2}
[/mm]
x2=y- [mm] \wurzel{y^2+2}
[/mm]
wie mache ich nun weiter ?
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Hallo Tobus,
> oh verdammt, daran habe ich nicht gedacht. dann habe ich:
> cosh(x) = u/2 + [mm] 1/\red{2}u [/mm] |da cosh = y
> y= u/2 + [mm] 1/\red{2}u [/mm]
>
> falls ich nun die gleichung mit u multipliziere:
> y*u = [mm]u^2/2[/mm] + 1
> [mm](1/2)*u^2[/mm] - y*u + 1 = 0
>
> x1=y+ [mm]\wurzel{y^2+2}[/mm]
> x2=y- [mm]\wurzel{y^2+2}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du berechnest doch hier die Lösungen in der Variable u!! Woher kommen da [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] angeflogen??
>
> wie mache ich nun weiter ?
Puh, das ist unübersichtlich, du hast bei dem [mm] \frac{1}{u} [/mm] die [mm] \frac{1}{2} [/mm] vergessen:
Fange so an:
[mm] $\cosh(x)=y$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)=y$
[/mm]
[mm] $\gdw e^x+e^{-x}=2y$
[/mm]
Die obige Substitution:
[mm] $\Rightarrow u+\frac{1}{u}=2y \qquad \mid \cdot{}u$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow u^2+1=2yu$
[/mm]
[mm] $\gdw u^2-2yu+1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw u_{1,2}=y\pm\sqrt{y^2-1}$
[/mm]
Nun resubstituieren...
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:12 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Tobus |
genau so hab ich es auch (fast zumindest) gemacht, nur etwas konfus. sry dafür.
genau durch die resubstitution komme ich ja auf:
[mm] e^x=y+- \wurzel{y^2-1}
[/mm]
ich soll die gleichung ja aber nach [mm] e^y [/mm] auflösen.
wie gehts nun weiter ?
DANKE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Do 15.05.2008 | | Autor: | Tobus |
[mm] e^x=y+-\wurzel{y^2-1}
[/mm]
umgestellt:
[mm] e^y=(e^{e^x-\wurzel{y^2-1}})
[/mm]
ist das richtig ?
wie soll ich jetzt noch den bezug zum arsin herstellen ?
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Hallo Tobus,
> [mm]e^x=y+-\wurzel{y^2-1}[/mm]
>
> umgestellt:
>
> [mm]e^y=(e^{e^x-\wurzel{y^2-1}})[/mm]
>
> ist das richtig ?
> wie soll ich jetzt noch den bezug zum arsin herstellen ?
Du hast:
[mm]e^x=y\pm\wurzel{y^2-1}[/mm]
[mm] $x_{1,2}=ln(y\pm\wurzel{y^2-1})$
[/mm]
Deine Ausgangsfunktion hat ja gelautet sinh(x)=y, wovon die Umkehrfunktion x = arsinh(y) wäre.
Also hast Du die Umkehrfunktion des sinh hergestellt:
[mm] $x_{1,2}=ln(y\pm\wurzel{y^2-1})= [/mm] arsinh(y)$
Die Rechnung liefert dir allerdings zwei Möglichkeiten, wovon nur die positive als arcsin definiert ist:
$x=arsinh(y) = [mm] ln(y+\wurzel{y^2-1})$ [/mm]
Damit steht da, was Du zeigen solltest.
Nachdem man die Umkehrfunktion ausgerechnet hat, vertauscht man i. a. noch die Variablen:
$y=arcsin(x)= [mm] ln(x+\wurzel{x^2-1})$ [/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Do 15.05.2008 | | Autor: | Tobus |
ahh ok, das war ja gar nicht so schwer wie gedacht
DANKE
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