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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Fr 22.01.2010 | | Autor: | maba |
| Aufgabe | [mm] G_{1}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -2 \\ 3} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ -4 \\ 2 \\ 1}; [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] G_{2}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + s [mm] \vektor{-4 \\ -2 \\ 1 \\ -1}; [/mm] s [mm] \in \IR
[/mm]
Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden. |
Hallo,
meine Frage ist kann man im [mm] \IR^{4} [/mm] überhaupt einen eindeutigen Abstand errechnen und wenn ja wie ?
Ich kenne die Vorgehensweise im [mm] \IR^{3} [/mm] wo ich die Differenz der Stützvektoren auf den Vektor projeziere der zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist.
Problem ist jetzt allerdings, im [mm] \IR^{4} [/mm] darf/kann ich das Kreuzprodukt nicht benutzen, also könnte man noch über zwei Gleichnungen an den orthogonalen Vektor gelangen, nämlich:
[mm] \vec{u} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0
[mm] \vec{v} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0
Im [mm] \IR^{3} [/mm] klappt das ja auch nur im [mm] \IR^{4} [/mm] habe ich statt einem zwei Freiheitsgrade bei der Auflösung und damit ändere ich dann doch die Richtung.
Also meine Frage wie mache ich weiter bzw. was mache ich falsch?
Bis denne MaBa
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> [mm] $G_{1}: \vec{x}=\vektor{0 \\ 3 \\ -2 \\ 3}+ [/mm] t [mm] *\vektor{2 \\ -4 \\ 2 \\ 1};\quad> t\in \IR$
[/mm]
> [mm] $G_{2}: \vec{x}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ 3}+ [/mm] s [mm] *\vektor{-4 \\ -2 \\ 1 \\ -1};\quad s\in \IR$
[/mm]
> Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden.
> Hallo,
> meine Frage ist kann man im [mm]\IR^{4}[/mm] überhaupt einen
> eindeutigen Abstand errechnen und wenn ja wie ?
>
> Ich kenne die Vorgehensweise im [mm]\IR^{3}[/mm] wo ich die
> Differenz der Stützvektoren auf den Vektor projeziere der
> zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist.
>
> Problem ist jetzt allerdings, im [mm]\IR^{4}[/mm] darf/kann ich das
> Kreuzprodukt nicht benutzen, also könnte man noch über
> zwei Gleichnungen an den orthogonalen Vektor gelangen,
> nämlich:
>
> [mm]\vec{u}[/mm] * [mm]\vec{n}[/mm] = 0
> [mm]\vec{v}[/mm] * [mm]\vec{n}[/mm] = 0
>
> Im [mm]\IR^{3}[/mm] klappt das ja auch nur im [mm]\IR^{4}[/mm] habe ich statt
> einem zwei Freiheitsgrade bei der Auflösung ...
Richtig. Im [mm] \IR^4 [/mm] gibt es nicht nur eine, sondern [mm] \infty [/mm] viele
Richtungen, die senkrecht zu [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] sind.
> Also meine Frage wie mache ich weiter bzw. was mache ich
> falsch?
>
> Bis denne MaBa
Hallo MaBa,
Gesucht ist der kürzeste mögliche Abstand zwischen
einem Punkt [mm] T\in G_1 [/mm] und einem Punkt [mm] S\in G_2 [/mm] .
Man kann die Aufgabe als Extremalaufgabe mit den zwei
Variablen s und t betrachten.
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:33 Fr 22.01.2010 | | Autor: | maba |
Ok vielen Dank dafür sowas haben wir noch nicht gemacht
also gehe ich davon aus, dass das nicht in der Prüfung morgen dran kommt ;)
gibt es evtl ne andere Möglichkeit warscheinlich nicht oder?
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> gibt es evtl ne andere Möglichkeit warscheinlich nicht oder?
Da bin ich im Moment überfragt - ich dachte mir nur,
die Lösung als Extremwertaufgabe sei wohl am ein-
fachsten. Die funktioniert nämlich im [mm] \IR^4 [/mm] ebenso
gut wie im [mm] \IR^2 [/mm] , [mm] \IR^3 [/mm] oder [mm] \IR^{17} [/mm] .
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Fr 22.01.2010 | | Autor: | maba |
Eine Idee von einer Komulitonin ist
die Differenz der Stützvektoren auf jeden der beiden Richtungsvektor projezieren und diese errechneten Projektionen dann von der Differenz der Stützvektoren abziehen, daraus den Betrag und angeblich soll das dann stimmen.
Frage is gild es auch im [mm] \IR^{4} [/mm] sie sagt im [mm] \IR^{3} [/mm] hat sies getestet da soll klappen ich weiß es aber noch net so genau was haltet ihr davon ?
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> Eine Idee von einer Komulitonin ist Kommilitonin
> die Differenz der Stützvektoren auf jeden der beiden
> Richtungsvektor projezieren und diese errechneten
> Projektionen dann von der Differenz der Stützvektoren
> abziehen, daraus den Betrag und angeblich soll das dann
> stimmen.
>
> Frage is gild gilt
> es auch im [mm]\IR^{4}[/mm] sie sagt im [mm]\IR^{3}[/mm] hat
> sie's getestet da soll klappen ich weiß es aber noch net so
> genau was haltet ihr davon ?
so wie du die "Methode" beschreibst, kann ich nicht
viel damit anfangen - ginge es auch präzise ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Fr 22.01.2010 | | Autor: | maba |
Also folgendermaßen soll das funktionieren
[mm] G_{1}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] t\vec{u}
[/mm]
[mm] G_{2}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] t\vec{v}
[/mm]
[mm] \vec{ab}_{\vec{v}} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{ab}*\vec{v}}{|\vec{v}|^{2}}*\vec{v}
[/mm]
[mm] \vec{ab}_{\vec{u}} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{ab}*\vec{u}}{|\vec{u}|^{2}}*\vec{u}
[/mm]
d = [mm] |\vec{ab} [/mm] - [mm] \vec{ab}_{\vec{v}} [/mm] - [mm] \vec{ab}_{\vec{u}}|
[/mm]
denke damit kann man jetzt nen bissel mehr anfangen :)
und die frage ist, ist das im [mm] \IR^{4} [/mm] möglich?
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> Also folgendermaßen soll das funktionieren
>
> [mm]G_{1}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]t\vec{u}[/mm]
> [mm]G_{2}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]t\vec{v}[/mm]
>
> [mm]\vec{ab}_{\vec{v}}=\bruch{\vec{ab}*\vec{v}}{|\vec{v}|^{2}}*\vec{v}[/mm]
>
> [mm]\vec{ab}_{\vec{u}}=\bruch{\vec{ab}*\vec{u}}{|\vec{u}|^{2}}*\vec{u}[/mm]
>
> d = [mm]|\vec{ab}[/mm] - [mm]\vec{ab}_{\vec{v}}[/mm] - [mm]\vec{ab}_{\vec{u}}|[/mm]
>
> denke damit kann man jetzt nen bissel mehr anfangen :)
Ja, jetzt kann ich es entziffern.
Zuerst dachte ich, die Formel sei falsch, aber nachdem
ich mir eine Zeichnung gemacht habe, haben sich
meine Zweifel vermindert. Eine rechnerische Über-
prüfung der beiden Lösungswege liefert aber doch
unterschiedliche Ergebnisse.
Irgendwo muss also noch ein Fehler sein, aber ich
weiß noch nicht wo ...
Noch ein Tipp: du könntest deine Formeln mit
viel weniger "[ mm]" und "[ /mm]" schreiben:
Ein einziges solches Paar pro Formel bzw. Zeile
genügt. Überdies kann man sowohl "[ mm]" als "[ /mm]"
beim Schreiben durch ein Dollarzeichen "$" ersetzen.
LG Al-Chw.
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> > Also folgendermaßen soll das funktionieren
> > [mm]G_{1}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]t\vec{u}[/mm]
> > [mm]G_{2}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]t\vec{v}[/mm]
> > [mm]\vec{ab}_{\vec{v}}=\bruch{\vec{ab}*\vec{v}}{|\vec{v}|^{2}}*\vec{v}[/mm]
> > [mm]\vec{ab}_{\vec{u}}=\bruch{\vec{ab}*\vec{u}}{|\vec{u}|^{2}}*\vec{u}[/mm]
> > [mm]d\ =\ |\vec{ab}-\vec{ab}_{\vec{v}}-\vec{ab}_{\vec{u}}|[/mm]
> Zuerst dachte ich, die Formel sei falsch, aber nachdem
> ich mir eine Zeichnung gemacht habe, haben sich
> meine Zweifel vermindert .
(irrtümlicherweise !)
> Eine rechnerische Überprüfung der beiden Lösungs-
> wege liefert aber doch unterschiedliche Ergebnisse.
> Irgendwo muss also noch ein Fehler sein, aber ich
> weiß noch nicht wo ...
Inzwischen habe ich den Fehler gefunden. Es wäre
ja allzu schön, wenn die hübsche Formel deiner
Kommilitonin korrekt wäre.
Sie gilt aber auch im [mm] $\red{\IR^3}$ [/mm] nur in Spezialfällen,
beispielsweise dann, wenn die beiden Geraden
senkrecht zueinander stehen.
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Fr 22.01.2010 | | Autor: | maba |
Danke dann weiß ich bescheid
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> Danke dann weiß ich bescheid
Hallo maba,
die Idee zu einer geometrischen Lösung schien
mir doch ziemlich verlockend. Jetzt ist mir eine
Möglichkeit eingefallen, wie man das Ganze doch
noch zum Funktionieren bringen kann, wenigstens
einmal für den [mm] \IR^3 [/mm] .
Die Methode würde ja dann funktionieren, wenn
man statt zwei beliebiger Richtungsvektoren u,v
zwei zueinander senkrechte Richtungsvektoren
hätte. Wir können z.B. den Vektor u beibehalten
und aus u und v eine Linearkombination $\ [mm] w=u+k\,v$
[/mm]
bilden, welche zu u normal ist. Es sollte also
gelten:
$\ [mm] u*w=u*(u+k\,v)=0$
[/mm]
Daraus ergibt sich
$\ [mm] k=-\frac{u*u}{u*v}$
[/mm]
und somit
$\ w\ =\ [mm] u-\frac{u*u}{u*v}\,v$
[/mm]
Wenn man nun in der Formel deiner Mitstudentin
anstelle von $\ v$ den Vektor $\ w$ einsetzt, gelingt die
Abstandsberechnung trotzdem !
Also: entweder die Lösung via Extremwertproblem
mit den ursprünglichen Richtungsvektoren $u$ und $v$
oder die geometrische Lösung mit den "rektifizierten"
Richtungsvektoren $\ u$ und $\ [mm] w=u+k\,v$ [/mm] mit $\ [mm] w\perp{u}$ [/mm] .
Das sollte nun auch in höheren Dimensionen klappen.
Ich habe es an Beispielen in [mm] \IR^3, \IR^4 [/mm] und [mm] \IR^5 [/mm] ausprobiert.
Wie gefällt dir das ?
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 26.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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