darstellende Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mi 10.02.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Die Abb. [mm] L:\IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] sei linear mit
[mm] L(\vektor{1 \\ 0 \\ 1 })=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 } [/mm] , [mm] L(\vektor{0 \\ 1 \\ 1 })=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] , [mm] L(\vektor{1 \\ 1 \\ 1 })=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 }.
[/mm]
Bestimmen Sie die darstellende Matrix von L bzgl. der Basis [mm] B:={\vec{b_{1}},\vec{b_{2}}, \vec{b_{3}}} [/mm] mit:
[mm] \vec{b_{1}}:=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vec{b_{2}}:=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vec{b_{3}}:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
|
Ich habe zwar die Lösung, aber nicht den Weg. Und ohne diesen kann ich die Lösung nicht nachvollziehen.
Danke für die Hilfe!
Schönen Abend!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Spaltenvektoren der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.
Damit sollte das sehr einfach sein.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mi 10.02.2010 | | Autor: | stffn |
Hört sich schon einfach an, aber ich hätte mir unter den Bildern der Basis etwas anderes vorgestellt, als ich hier als Ergebnis habe.
Was sind denn die Bilder der Basis und warum bilden diese die darstellende Matrix?
|
|
|
| |
|
Hallo stffn,
> Hört sich schon einfach an, aber ich hätte mir unter den
> Bildern der Basis etwas anderes vorgestellt, als ich hier
> als Ergebnis habe.
> Was sind denn die Bilder der Basis und warum bilden diese
> die darstellende Matrix?
Du solltest die Lösung mal herzeigen, nur nicht so knauserig!
Die [mm] \red{1.} [/mm] Spalte der Darstellungsmatrix berechnest du so:
Du berechnest das Bild des [mm] \red{1.} [/mm] Basisvektors, also von [mm] $\vec{b}_1=\vektor{1\\0\\1}$
[/mm]
Das ist ja gegeben durch [mm] $L\left(\vektor{1\\0\\1}\right)=\vektor{0\\1\\1}$
[/mm]
Diesen Bildvektor musst du nun als Linearkombination der Basisvektoren [mm] $\vec{b}_1, \vec{b}_2, \vec{b}_3$ [/mm] darstellen, also
[mm] $\lambda\cdot{}\vec{b}_1+\mu\cdot{}\vec{b}_2+\nu\cdot{}\vec{b}_3=\vektor{0\\1\\1}$
[/mm]
Das kannst du durch scharfes Hinsehen ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") oder schematisch berechnen.
Die Koeffizienten [mm] $\lambda, \mu, \nu$ [/mm] stopfe als Spaltenvektor [mm] $\vektor{\lambda\\\mu\\\nu}$ [/mm] in die [mm] \red{1.} [/mm] Spalte der Darstellungsmatrix.
Die anderen zwei Spalten berechne analog ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 11.02.2010 | | Autor: | stffn |
Hi!
ich hab das nach dieser Anleitung gemacht, und bin auf die Matrix
[mm] K_{b}:=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
gekommen, was auch richtig ist! Danke..!
Ich verstehe leider den ganzen Zusammenhang noch nicht. Was hat die Basis bzw. das Bild der Basis mit der darstellenden Matrix zu tun? Also wie kann ich mir das vorstellen? Hätte ich das auch so machen können wenn es in der Aufgabenstellung gehießen hätte:
Bestimmen Sie die darstellende matrix von L bzgl. der drei Bildvektoren [mm] \vec{a}_{1} [/mm] , [mm] \vec{a}_{2} [/mm] und [mm] \vec{a}_{3} [/mm] .
Und wäre das Ergebnis das Gleiche?
Schöne Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
> ich hab das nach dieser Anleitung gemacht, und bin auf die
> Matrix
>
> [mm]K_{b}:=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> gekommen, was auch richtig ist! Danke..!
>
> Ich verstehe leider den ganzen Zusammenhang noch nicht. Was
> hat die Basis bzw. das Bild der Basis mit der darstellenden
> Matrix zu tun? Also wie kann ich mir das vorstellen? Hätte
> ich das auch so machen können wenn es in der
> Aufgabenstellung gehießen hätte:
> Bestimmen Sie die darstellende matrix von L bzgl. der drei
> Bildvektoren [mm]\vec{a}_{1}[/mm] , [mm]\vec{a}_{2}[/mm] und [mm]\vec{a}_{3}[/mm] .
Nein. Eine darstellende Matrix gibt es nur bezgl. einer Basis des zugrunde liegenden Raumes
Die Vektoren $ [mm] \vec{a}_{1} [/mm] $ , $ [mm] \vec{a}_{2} [/mm] $ und $ [mm] \vec{a}_{3} [/mm] $ sind aber linear abhängig
> Und wäre das Ergebnis das Gleiche?
Nein
FRED
> Schöne Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Do 11.02.2010 | | Autor: | stffn |
Sehr schön, Danke!!
|
|
|
|
