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| Aufgabe | Es sein V ein 3-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis V={v1,v2,v3}. Ferner sei die Menge W={v1-v2,v2+v3,v3} gegeben sowie die lineare Abbildung [mm] φ:V\to [/mm] V gegeben durch: φ(v1)=-2v1-v2+v3; φ(v2)=v2-3v3 ; φ(v3)= 2v1+v2
(a) Zeigen Sie, dass W eine Basis von V ist
(b) Bestimme Sie beide Basiswechselmatrizen
(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von φ bzgl. der Basis W |
Meine Frage bezieht sich auf den Aufgabenteil (c) und wollte mal wissen ob ich da auf den richtigen Weg bin.
Hab Folgende darstellende Matrix rausbekommen:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 3 \\ 4 & -4 & -3 }
[/mm]
Wie hab ich das gemacht?! Nunja...
Dazu verwendete ich folgendes aus meinem Skript:
[mm] \summe_{i=1}^{n} aji\*wj
[/mm]
sodass ich am Anfang hatte
[mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 1}= a11\*w1 [/mm] + [mm] a21\*w2 [/mm] + [mm] a31\*w3
[/mm]
anschließend nach a11,a21 und a31 aufgelöst so das ich an meine erste Spalte der darstellenden Matrix komme! Ist das korrekt?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sein V ein 3-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis
> V={v1,v2,v3}. Ferner sei die Menge W={v1-v2,v2+v3,v3}
> gegeben sowie die lineare Abbildung [mm]φ:V\to[/mm] V gegeben
> durch: φ(v1)=-2v1-v2+v3; φ(v2)=v2-3v3 ; φ(v3)= 2v1+v2
>
> (a) Zeigen Sie, dass W eine Basis von V ist
> (b) Bestimme Sie beide Basiswechselmatrizen
> (c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von φ bzgl. der
> Basis W
> Meine Frage bezieht sich auf den Aufgabenteil (c) und
> wollte mal wissen ob ich da auf den richtigen Weg bin.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich hab' nun nicht so viel Lust, alles selbst auszurechnen, fürchte aber, daß Du etwas falsch gemacht hast.
Du hast zwei Möglichkeiten:
1.
Sei [mm] _WM(id)_V [/mm] die Basiswechselmatrix, die Vektoren in Koordinaten bzgl. V in solche bzgl. W verwandelt, [mm] _VM(id)_W [/mm] die Basiswechselmatrix, die Vektoren bzgl W in solche bzgl V verwandelt,
[mm] _VM(\varphi)_V [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl V.
Dann ist
[mm] _WM(\varphi)_W=_WM(id)_V*_VM(\varphi)_V*_VM(id)_W
[/mm]
die gesuchte Matrix.
2.
Berechne
[mm] \varphi(w_1), [/mm] und schreibe das Ergebnis als Linearkombination der [mm] w_i.
[/mm]
Die Koeffizienten "gestapelt" ergeben die erste Spalte der gesuchten Matrix:
[mm] \varphi(w_1)=\varphi(v_1-v_2)=(-2v_1-v_2+v_3)-(v_2-3v_3)=a*w_1+bw2+cw_3.
[/mm]
[mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] ist dann die erste Spalte.
Für die zweite und dritte Spalte analog.
Gruß v. Angela
>
> Hab Folgende darstellende Matrix rausbekommen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & -1 \\
-3 & 1 & 3 \\
4 & -4 & -3 }[/mm]
>
> Wie hab ich das gemacht?! Nunja...
>
> Dazu verwendete ich folgendes aus meinem Skript:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} aji\*wj[/mm]
>
> sodass ich am Anfang hatte
>
> [mm]\vektor{-2 \\
-1 \\
1}= a11\*w1[/mm] + [mm]a21\*w2[/mm] + [mm]a31\*w3[/mm]
>
> anschließend nach a11,a21 und a31 aufgelöst so das ich an
> meine erste Spalte der darstellenden Matrix komme! Ist das
> korrekt?!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Angelika,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Ich hätte dennoch eine Frage zu deiner zweiten Variante.
Ich verstehe nicht wie du darauf kommst, bin wahrscheinlich bisschen zu doof.
$ [mm] \varphi(w_1)=\varphi(v_1-v_2)=(-2v_1-v_2+v_3)-(v_2-3v_3)=a\cdot{}w_1+bw2+cw_3. [/mm] $
kannst du freundlicherweise das bisschen erläutern?
Danke 
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Hallo JapanHammer,
auch von mir ein herzliches
> Hallo Angelika,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort!
> Ich hätte dennoch eine Frage zu deiner zweiten Variante.
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> Ich verstehe nicht wie du darauf kommst, bin wahrscheinlich
> bisschen zu doof.
>
>
> [mm]\varphi(w_1)=\varphi(v_1-v_2)=(-2v_1-v_2+v_3)-(v_2-3v_3)=a\cdot{}w_1+bw2+cw_3.[/mm]
>
> kannst du freundlicherweise das bisschen erläutern?
Die Bilder der Basisvektoren in W sind als Linearkombination
dieser Basisvektoren in W darzustellen.
Da [mm]\varphi[/mm] linear ist, gilt:
[mm]\varphi(w_1)=\varphi(v_1-v_2)=\varphi(v_1)-\varphi(v_2)[/mm]
Damit ist
[mm]\varphi(w_1)=\varphi(v_1-v_2)=\blue{\varphi(v_1)-\varphi(v_2)}=(-2v_1-v_2+v_3)-(v_2-3v_3)[/mm]
Dies ist jetzt als Linearkombination der Basisvektoren in W zu schreiben:
[mm](-2v_1-v_2+v_3)-(v_2-3v_3)=a\cdot{}w_{1}+bw_{2}+cw_{3}=a\left(v_{1}-v_{2}\right)+b\left(v_{2}+v_{3}\right)+cv_{3}[/mm]
Jetzt beide Seiten nach [mm]v_{i}, \ i=1,2,3[/mm] sortieren
und die Koeffizienten vergleichen.
So machst Du das auch für die anderen beiden Basisvektoren.
> Danke
>
Gruss
MathePower
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vielen Dank ich habe es verstanden !
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