de l'Hospital/sin/cos/tan < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man berechne mittels der Regel von de l'Hospital $ [mm] lim_{x->x0} [/mm] $ f(x) mit
[mm] (sinx-cosx)^{tan(x)} [/mm] bei [mm] x_0=\pi/2 [/mm] |
[mm] lim_{x->x0} (sinx-cosx)^{tan(x)} =1^{undefiniert}
[/mm]
Darf man da de l'Hospital anwenden?
Und wie kann ich den Ausdruck ableiten?
[mm] ((sinx-cosx)^{tan(x)})' [/mm] = tan(x) * [mm] (sinx-cosx)^{tan(x)-1} [/mm] * (cos x + sin x)
Ich bin da ein bisschen überfragt ;I
LG
|
|
| |
|
> Man berechne mittels der Regel von de l'Hospital
> [mm]lim_{x->x0}[/mm] f(x) mit
> [mm](sinx-cosx)^{tan(x)}[/mm] bei [mm]x_0=\pi/2[/mm]
> [mm]lim_{x->x0} (sinx-cosx)^{tan(x)} =1^{undefiniert}[/mm]
> Darf
> man da de l'Hospital anwenden?
> Und wie kann ich den Ausdruck ableiten?
> [mm]((sinx-cosx)^{tan(x)})'[/mm] = tan(x) * [mm](sinx-cosx)^{tan(x)-1}[/mm]
> * (cos x + sin x)
>
> Ich bin da ein bisschen überfragt ;I
>
> LG
Hallo,
euer Prof scheint ein Flair für etwas exotische Limes-
Berechnungen zu haben.
Ich würde vorschlagen, einmal die Funktion g(x):=ln(f(x))
zu betrachten und diese als Quotient zweier Funktionen
zu schreiben, also [mm] g(x)=\frac{z(x)}{n(x)} [/mm] .
Dann sollte wieder die Hospital-Methode anwendbar sein.
Das ist das, was mir dazu gerade einfällt. Vielleicht
hat noch jemand einen besseren Tipp ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
ABer wenn ich den ln anwende:
g(x) = tanx * ln (sin x - cos x)
Wie erreiche ich dann einen Quotient ?
|
|
|
| |
|
> ABer wenn ich den ln anwende:
> g(x) = tan x * ln (sin x - cos x)
> Wie erreiche ich dann einen Quotient ?
$\ [mm] g(x)=\frac{ln(sin\ x -cos\ x)}{cot\ x}$
[/mm]
Dabei ist $\ cot(x)\ =\ [mm] \frac{1}{tan\ x}\ [/mm] =\ [mm] \frac{cos\ x}{sin\ x}$
[/mm]
und [mm] $\frac{d}{dx}(cot\ [/mm] x)\ =\ [mm] \frac{-\,1}{sin^2(x)}$
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
$ \ [mm] g(x)=\frac{ln(sin\ x -cos\ x)}{cot\ x} [/mm] $
$ [mm] \limes_{x\to x_0} [/mm] g(x) = " 0/0"
Nun leiten wir die Zähler und die Nenner funktion ab
g'(x) = [mm] \frac{\frac{1}{(sinx - cos x)} * {(cos x + sinx)}}{\frac{-1}{sin^2x}}
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\to x_0} [/mm] g'(x) = 1/-1 = -1
Wir haben ja zu anfang den ln angewendest müssen wir das nicht rückgängig machen?
|
|
|
| |
|
> [mm]\ g(x)=\frac{ln(sin\ x -cos\ x)}{cot\ x}[/mm]
> [mm]\limes_{x\to x_0}[/mm]
> g(x) = " 0/0"
> Nun leiten wir die Zähler und die Nenner funktion ab
> g'(x) = [mm]\frac{\frac{1}{(sinx - cos x)} * {(cos x + sinx)}}{\frac{-1}{sin^2x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\to x_0}[/mm] g'(x) = 1/-1 = -1
>
> Wir haben ja zu anfang den ln angewendest müssen wir das
> nicht rückgängig machen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Natürlich.
g(x) = ln(f(x)) strebt gegen -1 , also wird f(x) gegen
[mm] e^{-1}\approx0.36788 [/mm] streben.
Zur Bestätigung, dass dies klappt, ist natürlich noch
die Eigenschaft wichtig, dass das Logarithmieren und
dessen Umkehrung wenigstens in der Umgebung der
betrachteten Stelle stetig (und deshalb mit den Limes-
bildungen verträglich) sind.
Nochmals eine kleine Bemerkung zu Latex: wenn du die
Symbole [mm] und [/mm] verwendest, brauchst du nicht
auch noch das $ - Zeichen. Du kannst aber (einfacher)
jeweils anstelle von [mm] oder [/mm] einfach ein
$ - Symbol schreiben.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
