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ich wollte fragen, ob ich die richtige auffassung von negativ und positiv definit habe:
man muss zwei sachen kontrollieren:
1. die determinante der matrix muss größer als 0 sein, sonst ist sie indefinit
2. der erste eintrag in der matrix zeigt mit dem vorzeichen die definitheit.
dann wäre
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] positiv definit beispielsweise
[mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -2 } [/mm] negativ definit
und
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 } [/mm] wäre indefinit
das kommt mir irgendwie zu einfach vor.
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Wann gäbe es damit probleme? kann ich bei 3 x 3 oder 4 x 4 matrizen die matrix nicht einfach in dreiecksform bringen und dann die diagonale betrachten?
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Hallo nochmal,
> Wann gäbe es damit probleme? kann ich bei 3 x 3 oder 4 x 4
> matrizen die matrix nicht einfach in dreiecksform bringen
> und dann die diagonale betrachten?
Das kannst du natürlich machen, ist aber nicht "ungefährlich" im Sinne von: es ist fehleranfällig.
Du musst schließlich die ![[]](/images/popup.gif) Rechenregeln für Determinaten beachten, die Determinante ändert sich bei gewissen Zeilenumformungen ...
Außerdem musst du ja alle Hauptunterdeterminaten berechnen, da würde ich mit dem vorherigen Umformen in ZSF höllisch aufpasen 
LG
schachuzipus
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wie kriege ich dann am besten raus, wann eine matrix positiv oder negativ definit ist? alle eigenwerte berechnen?
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Hallo nochmal,
> wie kriege ich dann am besten raus, wann eine matrix
> positiv oder negativ definit ist? alle eigenwerte
> berechnen?
Ja, das ist eine Möglichkeit, "dein" Hauptminorenkriterium ist aber auch ok.
Sagen wir, du hast eine [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix [mm] $A=\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}}$, [/mm] dann musst du mit dem Hauptdeterminantenkriterium alle Hauptunterdeterminanten berechnen, also
[mm] $det\pmat{a_{11}}, det\pmat{a_{11}&a_{21}\\a_{21}&a_{22}}, det\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}$ [/mm] und $det(A)$
Das das Kriterium, das du im ersten post beschrieben hast, ausgedehnt auf "größere" Matrizen ...
Wobei man da ein bisschen aufpassen sollte, denn zum einen ist das Kriterium nicht für Semidefinitheit geeignet, zum anderen gilt (für eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix $A$):
$A$ ist positiv definit, falls [mm] $det(A_k)>0$ [/mm] für alle [mm] $1\le k\le [/mm] n$
$A$ ist negativ definit, falls [mm] $(-1)^k\cdot{}det(A_k)>0$ [/mm] für alle [mm] $1\le k\le [/mm] n$
und [mm] $A_k$ [/mm] sind die "Streichmatrizen" wie oben im Bsp. mit der [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix
LG
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
beispielsweise
