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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Do 15.12.2005 | | Autor: | roxy |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe von Intervallschachtelungen den Zwischenwertsatz
für dehnungsbeschränkte Funktionen:
Sei f : [a, b] → [mm] \IR [/mm] dehnungsbeschränkt, d.h. es gibt L > 0, so dass gilt:
[mm] |f(x_{0}) [/mm] − [mm] f(x_{1})| [/mm] ≤ [mm] L|x_{0} [/mm] − [mm] x_{1}| [/mm] für alle [mm] x_{0}, x_{1} [/mm] ∈ [a, b] .
Dann gibt es zu jedem y zwischen f(a) und f(b) ein x ∈ [a, b] mit f(x) = y. |
Hallo zusammen!
kann mir jemand weiterhelfen?
Danke!
roxy
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Hallo roxy,
versuchen wir es mal: Betrachten wir den Fall f(a)< f(b), der andere Fall geht analog.
Die Bedingung sagt dann doch
[mm] f(a+\delta) \in [f(a)-L\cdot \delta,f(a)+L\cdot\delta] [/mm] (für [mm] \delta\in [/mm] [0,b-a]) und
[mm] f(b-\delta)\in [f(b)-L\cdot \delta, f(b)\cdot +\delta] [/mm] (für [mm] \delta\in [/mm] [0,b-a])
Wir suchen ja ein x mit f(x)=y. Die obigen Bedingungen (man kann sie sich auch gut
graphisch veranschaulichen) geben dann doch Schranken für ein solches x:
die erste liefert [mm] x\geq a+\bruch{y-f(a)}{L}=: a_2 [/mm] und die zweite liefert
[mm] x\leq b-\bruch{f(b)-y}{L}=: b_2. [/mm] Es ist [mm] a_2\leq b_2 [/mm] und [mm] b_2-a_2= b-a-\bruch{f(b)-f(a)}{L}. [/mm]
Wg. [mm] f(a_2)\leq y\leq f(b_2) [/mm] kann ich dann dies so iterieren, d.h. ich nehme [mm] a_2,b_2
[/mm]
als neue Werte für a,b, und die Intervallaenge konvergiert bei Iterieren geg. 0, wobei
y immer im Interval [mm] [f(a_i),f(b_i)] [/mm] ist.
Ich hoffe, das hilft Dir genügend weiter.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Eine weitere Lösung kann man ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen...
Liebe Grüße
Julius
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