der Ring \IQ [X] der Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Sa 07.06.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Betrachtet werde der Ring [mm] \IQ [/mm] [X] der Polynome in einer Unbestimmten über [mm] \IQ.
[/mm]
a) Geben Sie das Einselement und die Einheiten in der [mm] \IQ [/mm] [X] an.
b) Bestimmen Sie ein zum Polynom [mm] p(X)=-\bruch{3}{4} X^5+2X^3+\bruch{7}{20}X^2-\bruch{4}{15}X-\bruch{1}{2} [/mm] assoziiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
c) Zeigen Sie, dass es zu jedem Polynom p(X) [mm] \in \IQ [/mm] [X] ein Polynom q(X) [mm] \in \IQ [/mm] [X] mit ganzzahligen Koeefizienten gibt, das zu p(X) assoziiert ist.
d) Zeigen Sie, dass es zu jedem vom Nullpolynom verschiedenen Polynom p(X) [mm] \in \IQ [/mm] [X] ein zu ihm assoziiertes Polynom s(X) [mm] \in \IQ [/mm] [X] gibt, dessen Koeffizient bei der höchsten Potenz von X gleich EIns ist. |
allgemein schreibe ich für den ring zunächst [mm] p(X)=a_0+a_1X+a_2X²+...+a_nX^n.
[/mm]
a) für das einselement ersetze ich nun [mm] a_1,a_2,...,a_n=0 [/mm] und [mm] a_0=1
[/mm]
und erhalte so p(X)=1. oder setze ich alle [mm] a_n=1???
[/mm]
und wie errechne ich dann die einheiten, ist in [mm] \IQ [/mm] nicht jedes element durch jedes teilbar?
b)c) d) was bedeutet überhaupt "assoziiertes polynom"??
auch bei diesen teilaufgaben wär ich froh über jede hilfe, aber am besten, wir beginnen erstmal mit a)...
gruß un dank.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Betrachtet werde der Ring [mm]\IQ[/mm] [X] der Polynome in einer
> Unbestimmten über [mm]\IQ.[/mm]
> a) Geben Sie das Einselement und die Einheiten in der [mm]\IQ[/mm]
> [X] an.
> b) Bestimmen Sie ein zum Polynom [mm]p(X)=-\bruch{3}{4} X^5+2X^3+\bruch{7}{20}X^2-\bruch{4}{15}X-\bruch{1}{2}[/mm]
> assoziiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
> c) Zeigen Sie, dass es zu jedem Polynom p(X) [mm]\in \IQ[/mm] [X]
> ein Polynom q(X) [mm]\in \IQ[/mm] [X] mit ganzzahligen Koeefizienten
> gibt, das zu p(X) assoziiert ist.
> d) Zeigen Sie, dass es zu jedem vom Nullpolynom
> verschiedenen Polynom p(X) [mm]\in \IQ[/mm] [X] ein zu ihm
> assoziiertes Polynom s(X) [mm]\in \IQ[/mm] [X] gibt, dessen
> Koeffizient bei der höchsten Potenz von X gleich EIns ist.
> allgemein schreibe ich für den ring zunächst
> [mm]p(X)=a_0+a_1X+a_2X²+...+a_nX^n.[/mm]
>
> a) für das einselement ersetze ich nun [mm]a_1,a_2,...,a_n=0[/mm]
> und [mm]a_0=1[/mm]
> und erhalte so p(X)=1. oder setze ich alle [mm]a_n=1???[/mm]
> und wie errechne ich dann die einheiten, ist in [mm]\IQ[/mm] nicht
> jedes element durch jedes teilbar?
p(X) = 1 ist richtig. Rechne einfach nach.... q(x)*p(x)=q(x)*1=q(x).
In [mm] \IQ [/mm] ja, aber du bist hier in [mm] \IQ[X]..... [/mm] X+1 ist z.B. nicht durch X teilbar.
> b)c) d) was bedeutet überhaupt "assoziiertes polynom"??
Schau in deinem Skript nach... irgendwo muss da die Definition von assoziierten Elementen in Ringen stehen. Oder schau in Wikipedia nach... ![[]](/images/popup.gif) assoziierte Elemente.
> auch bei diesen teilaufgaben wär ich froh über jede hilfe,
> aber am besten, wir beginnen erstmal mit a)...
> gruß un dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 07.06.2008 | | Autor: | jura |
gut, danke!
und wie sehen nun die einheiten aus? das können doch alle p(X) sein, bei denen [mm] a_1,a_2,...,a_n=0 [/mm] und [mm] a_0 [/mm] beliebig ist, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 08.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> gut, danke!
> und wie sehen nun die einheiten aus? das können doch alle
> p(X) sein, bei denen [mm]a_1,a_2,...,a_n=0[/mm] und [mm]a_0[/mm] beliebig
> ist, oder?
Ja, wobei du [mm] a_0 [/mm] = 0 (also das Nullpolynom) noch ausschliessen musst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 08.06.2008 | | Autor: | jura |
ja, an das nullpolynom hatte ich ja sogar selbst schon gedacht, nur eben faulerweise nicht mit aufgeführt...
kannst du mir noch einen tipp geben, wie ich zb bei teilaufgabe b) vorgehe? wie kann man das ganze rechnerisch lösen?
gruß und dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn du das gegebene Polynom mit einer Einheit multiplizierst, dann erhälst du ein dazu assoziiertes Polynom.
Die Einheiten hast du schon ausgerechnet. Du musst also bloß noch eine Einheit finden, so dass das assoziierte Polynom dann ganzzahlige Koeffizienten hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 09.06.2008 | | Autor: | jura |
ah, gut, danke: ich habe 60 als einheit gewählt und erhalte somit ja [mm] -45X^5+120X^3+21X²-16X-30 [/mm] als polynom, das ausschließlich ganzzahlige koeffizienten aufweist.
dadurch ist mir eigentlich auch ganz gut veranschaulicht worden, dass es zu jedem polynom ein assoziiertes gibt, welches ganzzahlig ist. doch wie soll ich das bei c) denn "mathematisch korrekt" zeigen???
danke für nen weiteren tipp...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mo 09.06.2008 | | Autor: | anstei |
Gleich wie bei b)! Nur willst dieses mal die Einheit so wählen, dass [mm] a_n [/mm] multiplizert mit dieser Einheit 1 ist, statt dass alle Koeffizienten ganz sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:21 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du hast bzgl. Teilaufgabe d) geantwortet. Es ging ihm aber um Teilaufgabe c).
Zu der c).... du musst ja bloß den Hauptnenner bilden (wobei das schon viel zu viel ist... es reicht ja, wenn du mit allen Nennern, die vorkommen, komplett durchmultiplizierst).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Di 10.06.2008 | | Autor: | jura |
ja cool, ich hab das diesmal sogar hingekriegt (obwohl ich mich eben bei der verallgemeinerung und mathematischer schreibweise immer voll schwer tue)!
dann nochmal besten dank an euch!!!
|
|
|
|
