det(-t*A^-1) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Determinante von [mm] (-t*A^{-1}). [/mm] |
Hallo,
ich mache gerade einen Beweis fertig, indem es darum geht, dass es 2 Matrizen gibt A und [mm] A^{-1}. [/mm] Seien p(t) und q(t) die charakteristischen Polynome.
Ich soll zeigen dass [mm] q(t)=\bruch{(-1)^{n}*t^{n}}{p(0)}*p(\bruch{1}{t})
[/mm]
Dafür fehlt mir nur noch die Berechnung der Determinante von [mm] (-t*A^{-1}). [/mm] Das Ergebnis müsste dabei sein: [mm] \bruch{(-1)^{n}*t^{n}}{p(0)}.
[/mm]
Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Sa 08.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die Determinante von [mm](-t*A^{-1}).[/mm]
> Hallo,
> ich mache gerade einen Beweis fertig, indem es darum geht,
> dass es 2 Matrizen gibt A und [mm]A^{-1}.[/mm] Seien p(t) und q(t)
> die charakteristischen Polynome.
> Ich soll zeigen dass
> [mm]q(t)=\bruch{(-1)^{n}*t^{n}}{p(0)}*p(\bruch{1}{t})[/mm]
> Dafür fehlt mir nur noch die Berechnung der Determinante
> von [mm](-t*A^{-1}).[/mm] Das Ergebnis müsste dabei sein:
> [mm]\bruch{(-1)^{n}*t^{n}}{p(0)}.[/mm]
>
> Hat jemand eine Idee?
Der Faktor [mm] $(-t)^n$ [/mm] ergibt sich einfach aus [mm] $\det(-t*A^{-1}) [/mm] = [mm] (-t)^n [/mm] * [mm] \det(A^{-1})$, [/mm] wenn A eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix ist. Wie hängen denn die Eigenwerte von A und [mm] $A^{-1}$ [/mm] zusammen, und was haben sie mit $p(0)$ zu tun?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hallo Rainer!
Danke erstmal für deine Antwort!
> ... und was haben sie mit p(0) zu tun?
Also ich weiß dass wenn p(t) als [mm] a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_{1}t^{1}+a_{0} [/mm] definiert ist, ist [mm] p(0)=a_{0}=Det(A).
[/mm]
Das könnte ich im Nenner verwenden. Ich weiß jedoch nur nicht richtig wie. Kannst du mir dazu noch was sagen und erklären was du genau mit
> Wie hängen denn die Eigenwerte von A und [mm] A^{-1} [/mm] zusammen
meinst?
Ich steh gerade irgendwie auf dem Schlauch ;(
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Mir ist gerade noch was eingefallen, stimmen diese Umformungen?:
[mm] Det(-t*A^{-1})
[/mm]
[mm] =-t^{n}*det(A^{-1}) [/mm] (wie genau kommt man auf diese Umformung bei einer nxn Matrix?)
[mm] =\bruch{(-1)^{n}*t^{n}}{det(A)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(-1)^{n}*t^{n}}{a_{0})} [/mm] (folgt aus [mm] det(A)=p_{0}=a_{0}
[/mm]
[mm] =\bruch{(-1)^{n}*t^{n}}{p(0)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 08.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Wie hängen denn die Eigenwerte von A und [mm]A^{-1}[/mm] zusammen
Darueber muss man gar nicht gehen.
Es gilt doch [mm] $\det(A \cdot A^{-1}) [/mm] = [mm] \det(A) \cdot \det(A^{-1})$. [/mm] Kannst du [mm] $\det(A \cdot A^{-1})$ [/mm] noch auf eine andere Weise ausrechnen?
LG Felix
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