det(A) = det(A*) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] a_{1},...,a_{n} \in \IR^{n} [/mm] die Spalten der Matrix A = [mm] (a_{1}|...|a_{n}) \in \IR^{nxn} [/mm] und für [mm] \lambda \in \IR [/mm] und i,j [mm] \in [/mm] {1,...,n}
mit i [mm] \not= [/mm] j sei
A* := [mm] (a_{1}|...|a_{j-1}|\lambda a_{i}+a_{j}|a_{j+1}|...|a_{n})
[/mm]
Beweisen Sie, dass det(A) = det(A*) gilt. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Was ich bisher gemacht habe:
//entwicklung nach spalte j von A*
det(A*) = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+j} (\lambda a_{i} [/mm] + [mm] a_{j})_{k} det(A_{\backslash kj})
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+j} \lambda a_{ki} det(A_{\backslash kj}) [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k+j} a_{kj} det(A)^{kj}
[/mm]
= [mm] \lambda det(a_{1}| [/mm] ... [mm] |a_{i}| [/mm] ... [mm] a_{n}) [/mm] + [mm] det(a_{1} [/mm] | ... | [mm] a_{j} [/mm] | ... [mm] a_{n})
[/mm]
nun müsste um zur behauptung zu kommen der linke summand = 0 sein, also die determinante der Matrix, bei der die i-te spalte mit lambda multipliziert worden ist.
die determinante ist soweit ich weiß 0 bei einer singulären matrix.
ich sehe jedoch nicht warum diese matrix singulär sein sollte bzw wie ich nun weiterkomme...
danke im voraus
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Hallo,
bei dieser Aufagabe gibt es verschiedenste Wege die gesuchte Aussage zu zeigen. Das hängt vorallem davon ab, was ihr schon behandelt habt.
Habt ihr die Determinante rekursiv eingeführt (also über die Entwicklung einer Zeile/Spalte) oder hattet ihr schon die Summe über alle Permutationen oder habt ihr sie axiomatisch eingeführt?
Falls ihr sie axiomatisch eingeführt hat muss eig gekommen sein, dass die det = 0, falls das System der Spalten der Matrix lin. abhängig ist, und man wäre fertig.
Wenn du bis jetzt nur die Def. und sonst nichts gehabt hast, dann entwickel beide Det. nach der i-ten Spalte, dann kannst du die [mm] a_{ri} [/mm] ausklammern, dann die Minore zusammenziehen, und dann die j-te Spalte betrachten, und dann anch dieser entwickeln.
Ich weiß aber nicht ob das der einfachste Weg ist.
lg Kai
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