det(<u_i, v_j>) Formel < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $(\IR^{n},<.,.>)$ [/mm] der n-dimensionale euklidische Standardraum mit Standardskalarprodukt. Weiter sei [mm] $\psi:=\Psi_{(e_{1},...,e_{n})}:\IR^{n}\to(\IR^{n})^{\*}, e_{1}\mapsto e_{1}^{\*}$. [/mm] Für [mm] u_{1},...,e_{n-1}\in\IR^{n} [/mm] definiere die Linearform [mm] $\psi:\IR^{n}\to\IR, v\mapsto \det(v,u_{1},...,u_{n-1})$ [/mm] und so:
[mm] $\kappa:(\IR^{n})^{n-1} \to \IR^{n}: (u_{1},...,u_{n-1})\mapsto \kappa(u_{1},...,u_{n-1}) [/mm] := [mm] \psi^{-1}(\phi)$.
[/mm]
Zeige: Ist [mm] v_{1},...,v_{n-1}\in\IR^{n}, [/mm] so gilt:
[mm] <\kappa(u_{1},...,u_{n-1}),\kappa(v_{1},...,v_{n-1}> [/mm] = [mm] \det\pmat{ & ... & \\ ... & & ... \\ & ... & } [/mm] |
Hallo!
Ich habe schon herausgefunden: [mm] $\kappa(u_{1},...,u_{n-1}) [/mm] = [mm] \vektor{\det(e_{1},u_{1},...,u_{n-1})\\...\\\det(e_{n},u_{1},...,u_{n-1})}$.
[/mm]
Außerdem musste man vorher zeigen, dass [mm] \kappa [/mm] multilinear ist und das folgende Äquivalenz gilt:
[mm] $(u_{1},...,u_{n}) \mbox{ linear unabhängig} \gdw \kappa(u_{1},...,u_{n-1}) \not= [/mm] 0 [mm] \gdw Lin(\kappa(u_{1},...,u_{n})) [/mm] = [mm] Lin(u_{1},...,u_{n})^{\perp}$
[/mm]
Bei dieser Aufgabe oben hänge ich aber jetzt. Man soll wohl auch diese Äquivalenz irgendwie in den Beweis einbringen. Ich habe mir bereits folgendes überlegt: Rechte Seite:
[mm] $\det\pmat{ & ... & \\ ... & & ... \\ & ... & } [/mm] = [mm] \det\pmat{u_{1}^{T}v_{1} & ... & u_{1}^{T}v_{n-1}\\ ... & & ... \\ u_{n-1}^{T}v_{1} & ... & u_{n-1}^{T}v_{n-1}}$
[/mm]
$= [mm] \det\left[\pmat{u_{1}^{T}\\...\\u_{n-1}^{T}}*\pmat{v_{1} & ... & v_{n-1}}\right] [/mm] = [mm] \det(u_{1},...,u_{n-1})*\det(v_{1},...,v_{n-1})$.
[/mm]
Linke Seite:
[mm] $<\kappa(u_{1},...,u_{n-1}),\kappa(v_{1},...,v_{n-1}> [/mm] = [mm] <\vektor{\det(e_{1},u_{1},...,u_{n-1})\\...\\\det(e_{n},u_{1},...,u_{n-1})},\vektor{\det(e_{1},v_{1},...,v_{n-1})\\...\\\det(e_{n},v_{1},...,v_{n-1})}> [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}\det(e_{k},u_{1},...,u_{n-1})*\det(e_{k},v_{1},...,v_{n-1})$.
[/mm]
Jetzt könnte ich theoretisch ja irgendwie mit Laplace entwickeln - bin da aber nicht zum Ziel gekommen.
Ich glaube auch, dass es irgendwie anders gehen muss, weil ich ja bis jetzt noch nicht die Äquivalenz von oben benutzt habe.
Wie kann ich weiter vorgehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mo 17.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich glaube auch, dass es irgendwie anders gehen muss, weil
> ich ja bis jetzt noch nicht die Äquivalenz von oben
> benutzt habe.
Die brqauchst du nicht imo. Du solltest ein allgemeines Verfahren anwenden: bastele "schöne" Koordinanten, sprich: vereinfache beide Seiten bzw. reduziere das Problem.
Wie macht man das hier? Beide Seiten sind linear in den [m]u_i,v_i[/m], so wie schiefsymmterisch im Vorderen wie hinteren Teil. Beide Seiten sind also 0, wenn die us oder vs linear abhängig sind. Das heißt, du musst die Gleichung nur noch für orthogonale Vektoren überprüfen (die nicht eh linear abhängig sind), also du nimmst eine ONB für den VR an, dann sind die us und vs entweder genau die gleichen orthogonalen Vektoren [m]e_i[/m] oder sie unterscheiden sich in einem Paar, OBdA die letzten beiden Vektoren. Das sind dann simple Identitäten.
SEcki
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Hallo SEcki,
danke für deine Antwort!
> Wie macht man das hier? Beide Seiten sind linear in den
> [m]u_i,v_i[/m], so wie schiefsymmterisch im Vorderen wie hinteren
> Teil. Beide Seiten sind also 0, wenn die us oder vs linear
> abhängig sind. Das heißt, du musst die Gleichung nur
> noch für orthogonale Vektoren überprüfen
Das verstehe ich noch nicht.
Ich verstehe, dass ich die Gleichung nur noch für linear unabhängige Vektoren [mm] u_{i} [/mm] bzw. [mm] v_{i} [/mm] überprüfen muss.
Warum kann ich aber gleich annehmen, dass [mm] u_{i} [/mm] und [mm] v_{i} [/mm] sogar orthogonal sind?
> (die nicht eh
> linear abhängig sind), also du nimmst eine ONB für den VR
> an, dann sind die us und vs entweder genau die gleichen
> orthogonalen Vektoren [m]e_i[/m] oder sie unterscheiden sich in
> einem Paar, OBdA die letzten beiden Vektoren.
Wenn ich eine ONB von V annehme, wieso müssen dann die [mm] u_i [/mm] und [mm] v_{i} [/mm] dieselben Vektoren sein wie die der ONB? Es stehen doch zum Beispiel auch [mm] \vektor{1\\1}, \vektor{-1\\1} [/mm] senkrecht aufeinander, und sie stimmen nicht mit [mm] e_{1},e_{2} [/mm] überein?
Danke für die Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 18.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das verstehe ich noch nicht.
> Ich verstehe, dass ich die Gleichung nur noch für linear
> unabhängige Vektoren [mm]u_{i}[/mm] bzw. [mm]v_{i}[/mm] überprüfen muss.
> Warum kann ich aber gleich annehmen, dass [mm]u_{i}[/mm] und [mm]v_{i}[/mm]
> sogar orthogonal sind?
Eine ONB, da sich jeder Vektor als linear Kombi davon ausdrücken lässt - und der Asudruck ja linear in jedem Eintrag ist!
> Wenn ich eine ONB von V annehme, wieso müssen dann die [mm]u_i[/mm]
> und [mm]v_{i}[/mm] dieselben Vektoren sein wie die der ONB?
A priori nicht. A posterori ist es eine Teilmenge (es gibt n ONB-Vektoren, die us bzw. vs sind nur n-1 viele)
> Es
> stehen doch zum Beispiel auch [mm]\vektor{1\\1}, \vektor{-1\\1}[/mm]
> senkrecht aufeinander, und sie stimmen nicht mit
> [mm]e_{1},e_{2}[/mm] überein?
Ja und?
SEcki
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Hallo SEcki,
danke für deine Antwort,
werde mir das mal durch den Kopf gehen lassen.
Grüße,
Stefan
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