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man hat eine Matrix a, bei der der eintrag [mm] a_{ij}=0 [/mm] ist für i>j, also eine obere Dreiecksmarix.
nun soll ich zeigen, dass det(A)= [mm] a_{11}.....a_{nn} [/mm] also die determinante ausmultipliziert nach der diagonalen.
genügt es, wenn ich dabei die regeln vonsarruss anwende für 3x3 und dann sage, dass es allgemein gilt?
danke im voraus
gruß
dschingis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Do 09.06.2005 | | Autor: | c.t. |
Hi Dschingis,
Wie wäre es denn mit folgender Überlegung:
Wenn die Matrix schon in oberer Dreiecksgestalt ist, kann man sie doch leicht durch Zeilenumformung (damit meine ich nur solchen, bei denen man Zeilen miteiander addiert) in Diagonalgestalt bringen. Es stehen also nur noch Einträge auf der Hauptdiagonalen. Jetzt folgt auch schon die Behauptung, da man ja bei Zeilenumformungen, wie oben, nichts an der Determinante ändert.
Ob das mit der Sarruss- Regel funktioniert? Natürlich, aber bevor du mal einfach so von 3x3-Matrizen auf nxn-Matrizen schließt ist formal nicht so toll. Man könnte hier ein Induktionsbeweis versuchen. Du kannst aber auch die Sarruss-Regel direkt an einer nxn-Matrix anwenden. z.B. so:
[mm] a_{11}* [/mm] ... * [mm] a_{nn}+ [/mm] 0* [mm] a_{12}* [/mm] ...* [mm] a_{n-1n}, [/mm] usw.
Versuch es vieleicht doch besser mit Induktion, oder adaptiere meine Idee
Grüße Christoph
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ok, ich verfolge deine idee weiter.
umformen, sodass nur noch was in der diagonalen steht, ähnlich der einheitsmatrix, ok
aber warum folgt dann die behauptung? der schritt ist mir nicht ganz klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Do 09.06.2005 | | Autor: | c.t. |
Wenn du die Matrix von oberer Dreiecksgestalt in Diagonalgestalt überführt hast, ohne die Determinante zu ändern, dann gilt ja auch: [mm] det(\lambda [/mm] * A) = [mm] \lambda^n [/mm] *det A. Dabei ist [mm] \lambda \in [/mm] K (der entsprechende Körper) und n Anzahl der Spalten/Zeilen.
Das heißt für unsere Diagonalmarix: A = [mm] E_{n} [/mm] also die nxn-Einheitsmatrix und [mm] \lambda_{i} [/mm] die Einträge auf er Hauptdiagonalen. Es gilt nämlich: [mm] E_{n} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] = Diagonalmatrix mit den [mm] \lambda_{i} [/mm] als Einträge auf der Hauptdiagonalen.
det( [mm] E_{n} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] = det [mm] (E_{n}) [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] ) = 1* [mm] \produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i}.
[/mm]
Also ist die Determinante genau das Produkt über allen Einträgen der Hauptdiagonalen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Do 09.06.2005 | | Autor: | Dschingis |
muchas gracias, jetzt habe ich es voll verstanden.
ist ja interessant und irgendwie lustig
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