diagonalisierbar? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Fr 17.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Ist Matrix A diagonalisierbar?
[mm] A=\pmat{ -1 & -5 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \\ -3 & -4 & 3 } [/mm] |
Hallo an alle,
Das charakteristische Polynom ist [mm] x^{3}-6x^{2}+12x-8.
[/mm]
Durch Polynomdivision und die p-q-Formel erhält man den dreifachen Eigenwert 2.
Diagonalisierbarkeit ist ja u.a. so definiert, dass die Matrix n verschiedene Eigenwerte besitzen muss. Dies ist hie allerdings nicht der Fall.
Muss ich jetzt trotzdem noch gucken, ob die geometrische und algebraische Vielfachheit für den Eigenwert 2 gleich ist? Und wenn sie gleich ist, ist die Matrix dann wieder diagonalisierbar?
Ich habe einfach mal damit angefangen:
Da der Eigenwert ein dreifacher ist, ist die algebraische Vielfachheit=3.
Um die geometrische Vielfachheit zu ermitteln muss ich die Matri [mm] (2\cdot E_{n}-A) [/mm] ja in Zeilenstufenform bringen:
[mm] (2\cdot E_{n}-A)=\pmat{ 3 & -5 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ -3 & -4 & -1 }.
[/mm]
Leider schaffe ich das irgendwie nicht, habe ich mich irgendwo verrechnet? Ist die Matrix falsch? Hat jemand eine Idee, wie ich zur ZSF komme?
Vielen Dank im Voraus, Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Fr 17.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bisher ist alles okay, die Matrix stimmt auch:
Wende nun den  Gauß-Algorithmus an, um die Amtrix auf die Zeilenstufenform zu bringen.
[mm] (2\cdot E_{n}-A)=\pmat{ 3 & -5 & 2 \\
1 & -2 & -1 \\
-3 & -4 & -1 }. [/mm]
[mm] =\pmat{ 3 & -5 & 2 \\
1 & -2 & -1 \\
-3 & -4 & -1 } [/mm]
[mm]\stackrel{G1-3\cdot G2;G1+G3}{=}\pmat{ 3 & -5 & 2 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & -9 & -3 } [/mm]
[mm]\stackrel{\frac{1}{3}\cdot G3}{=}\pmat{ 3 & -5 & 2 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & -3 & -1 } [/mm]
Den letzten Schritt zu Zeilenstufenform schaffst du jetz sicher alleine.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Fr 17.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die Hilfe.
Dann mach ich mal weiter:
$ [mm] \stackrel{\frac{1}{3}\cdot G3}{=}\pmat{ 3 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & -1 } [/mm] $ = [mm] \pmat{ 3 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 14 } [/mm] (mit G3+3G2)
Nun das Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 3 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 14 } \cdot \vektor{x \\ y \\ z}=0
[/mm]
Somit ist 14z=0, also z=0 und 3x-5y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 3x=5y, sei x=5, so ist y=3
Ein möglicher Eigenvektor ist somit:
v= [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 0} [/mm] (Richtig?  )
Dieser hat die Dimension 2, also die geometrische Vielfachheit 2, welche nicht mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
Somit ist die Matrix A nicht diagonalisierbar.
(Müsste stimmen, wenn ich keinen Fehler gemcht habe. Ich bitte um Korrekturen.)
Viele Grüße Paula
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Hallo Paula,
ich habe die weitere Rechnung nicht kontrolliert, weil du ganz u bEginn schon die Matrix [mm]2\mathbb{E}_3-A[/mm] falsch angesetzt hast!!
In [mm]-A[/mm] drehen sich doch alle Vorzeichen um!
Richtig:
[mm]2\matbb{E}_3-A=\pmat{3&5&-2\\
-1&-2&1\\
3&4&-1}[/mm]
Rechne ab hier nochmal schnell nach ...
Ich erhalte eine andere Basis für den Eigenraum und mithin einen anderen Eigenvektor ..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Fr 17.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
> Hallo Paula,
>
> ich habe die weitere Rechnung nicht kontrolliert, weil du
> ganz u bEginn schon die Matrix [mm]2\mathbb{E}_3-A[/mm] falsch
> angesetzt hast!!
>
> In [mm]-A[/mm] drehen sich doch alle Vorzeichen um!
>
> Richtig:
>
> [mm]2\matbb{E}_3-A=\pmat{3&5&-2\\
-1&-2&1\\
3&4&-1}[/mm]
>
Wiesodrehen sich denn alle Vorzeichen um? Man guckt sich doch immer nur die Diagonale an.
Leider ist bei uns das charakteristische Polynom so rum definiert, mit [mm] xE_{n}-A, [/mm] sonst habe ich das auch immer andersrum gerechnet.
Dann rechne ich es jetzt mit:
[mm] (A-xE_{n})=$ \pmat{-3&-5&2\\ 1&2&-1\\ -3&-4&1} [/mm] $ damit es keine Fehler mit den Vorzeichen gibt.
ZSF:
[mm] \pmat{-3&-5&2\\ 1&2&-1\\ -3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\ 0&1&-1\\ -3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\ 0&1&-1\\ 0&-1&-1}\sim\pmat{-3&-5&2\\ 0&1&-1\\ 0&0&-2}
[/mm]
GS:
1) [mm] x_{2}=-x_{3}
[/mm]
2) [mm] -3x_{1}-5x_{2}+2x_{3}=0 \Rightarrow 3,5x_{2}=-1,5x_{1}
[/mm]
sei [mm] x_{2}=1, [/mm] dann sind [mm] x_{3}=-1 [/mm] und [mm] x_{1}=2\bruch{1}{3}
[/mm]
Somit ist mein Vektor [mm] \vektor{2\bruch{1}{3}
\\ 1 \\ -1} [/mm] und somit ist die Dimension des Eigenraumes 3 und die algebraische Vielfachheit würde der geometrischen entsprechen.
Der Vektor ist allerdings etwas komisch denke ich.
Könnte jemand das nochmal nachrechnen und mir ganz klar sagen, wo ich die Fehler mache?
Vielen Dank, Paula
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Hallo nochmal,
> > Hallo Paula,
> >
> > ich habe die weitere Rechnung nicht kontrolliert, weil du
> > ganz u bEginn schon die Matrix [mm]2\mathbb{E}_3-A[/mm] falsch
> > angesetzt hast!!
> >
> > In [mm]-A[/mm] drehen sich doch alle Vorzeichen um!
> >
> > Richtig:
> >
> > [mm]2\matbb{E}_3-A=\pmat{3&5&-2\\
-1&-2&1\\
3&4&-1}[/mm]
> >
> Wiesodrehen sich denn alle Vorzeichen um? Man guckt sich
> doch immer nur die Diagonale an.
Wenn [mm]A=\pmat{-1&-5&2\\
1&4&-1\\
-3&-4&3}[/mm] ist, so ist doch wohl [mm]-A=\pmat{1&5&-2\\
-1&-4&1\\
3&4&-3}[/mm], oder nicht?
Also [mm]2\mathbb{E}_3-A=2\mathbb{E}_3+(-A)=\pmat{2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&2}+\pmat{1&5&-2\\
-1&-4&1\\
3&4&-3}=\ldots[/mm]
> der ist bei uns das charakteristische Polynom so rum
> definiert, mit [mm]xE_{n}-A,[/mm] sonst habe ich das auch immer
> andersrum gerechnet.
Das ist für das char. Pol. egal, die unterscheiden sich dann nur im Vorzeichen, du hast halt weder mit der Matrix [mm]A-2\mathbb{E}_3[/mm] noch mit der Matrix [mm]2\mathbb{E}_3-A[/mm] gerechnet ...
>
>
> Dann rechne ich es jetzt mit:
> [mm](A-xE_{n})=[/mm] [mm]\pmat{-3&-5&2\\
1&2&-1\\
-3&-4&1}[/mm] damit es
> keine Fehler mit den Vorzeichen gibt.
Na gut  Und mit [mm]x=2[/mm]
>
> ZSF:
> [mm]\pmat{-3&-5&2\\
1&2&-1\\
-3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
-3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
0&-1&\red{-1}}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
0&0&-2}[/mm]
Da sollte eine [mm]\red{+1}[/mm] stehen ...
Dann bekommst du auch ne Nullzeile, du bekommst mit deiner Rechnung keine, das kann nicht sein ...
>
> GS:
> 1) [mm]x_{2}=-x_{3}[/mm]
> 2) [mm]-3x_{1}-5x_{2}+2x_{3}=0 \Rightarrow 3,5x_{2}=-1,5x_{1}[/mm]
>
> sei [mm]x_{2}=1,[/mm] dann sind [mm]x_{3}=-1[/mm] und [mm]x_{1}=2\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Somit ist mein Vektor [mm]\vektor{2\bruch{1}{3} \\
1 \\
-1}[/mm] und somit ist die Dimension des Eigenraumes 3
> und die algebraische Vielfachheit würde der geometrischen
> entsprechen.
>
> Der Vektor ist allerdings etwas komisch denke ich.
> Könnte jemand das nochmal nachrechnen und mir ganz klar
> sagen, wo ich die Fehler mache?
Ja, siehe oben, kleiner, aber entscheidender Vorzeichenfehler ..
> Vielen Dank, Paula
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Fr 17.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Immer diese kleinen dummen Fehler.....
Habe es nochmal gerechnet und komme auf folgendes:
$ [mm] \pmat{-3&-5&2\\ 1&2&-1\\ -3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\ 0&1&-1\\ -3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\ 0&1&-1\\ 0&-1&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\ 0&1&-1\\ 0&0&0} [/mm] $
Trotzdem komme ich so noch auf das selbe Gleichungssystem dass $ [mm] x_{2}=-x_{3} [/mm] $ und sei [mm] x_{3}=1 [/mm] so ist [mm] x_{2}=-1 [/mm] und [mm] x_{1}=2 [/mm] 1/3
Ist dieser Vektor denn richtig?
Denn dann wäre die geometrische Vielfachheit =1 oder?
Und somit wäre die Matrix nicht diagonalisierbar.
Viele Grüße, Paula
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> Immer diese kleinen dummen Fehler.....
>
> Habe es nochmal gerechnet und komme auf folgendes:
>
> [mm]\pmat{-3&-5&2\\
1&2&-1\\
-3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
-3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
0&-1&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
0&0&0}[/mm]
>
> Trotzdem komme ich so noch auf das selbe Gleichungssystem
> dass [mm]x_{2}=-x_{3}[/mm] und sei [mm]x_{3}=1[/mm] so ist [mm]x_{2}=-1[/mm] und
> [mm]x_{1}=2[/mm] 1/3
Hallo,
das ist falsch.
Aus der zweiten Zeile lernst Du, daß [mm] x_2=x_3.
[/mm]
>
> Ist dieser Vektor denn richtig?
Nein.
>
> Denn dann wäre die geometrische Vielfachheit =1 oder?
Ja.
> Und somit wäre die Matrix nicht diagonalisierbar.
Stimmt.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
vllt. zitierst du das nächste Mal mit etwas mehr Bedacht; alles, was du nicht brauchst, kannst du löschen. Das erhöht die Lesbarkeit immens ...
Ich lösche dieses Mal auch nix ...
> >
> > > Immer diese kleinen dummen Fehler.....
> > >
> > > Habe es nochmal gerechnet und komme auf folgendes:
> > >
> > > [mm]\pmat{-3&-5&2\\
1&2&-1\\
-3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
-3&-4&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
0&-1&1}\sim\pmat{-3&-5&2\\
0&1&-1\\
0&0&0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Trotzdem komme ich so noch auf das selbe Gleichungssystem
> > > dass [mm]x_{2}=-x_{3}[/mm] und sei [mm]x_{3}=1[/mm] so ist [mm]x_{2}=-1[/mm] und
> > > [mm]x_{1}=2[/mm] 1/3
> >
> > Hallo,
> >
> > das ist falsch.
> >
> > Aus der zweiten Zeile lernst Du, daß [mm]x_2=x_3.[/mm]
>
> Oh ja, entschuldige, ich sitze heute wohl shcon zu lange
> dran, deshalb kam so ein komischer Vektor raus, jetzt aber:
>
> wenn [mm]x_{3}=x_{2}[/mm] und sei [mm]x_{3}=1[/mm] dann ist auch [mm]x_{2}=1[/mm] und
> somit ist [mm]x_{1}=-1 \Rightarrow \vektor{-1 \\
1 \\
1}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, das ist ein Eigenvektor und glz. eine Basis für den Eigenraum
> >
> > >
> > > Ist dieser Vektor denn richtig?
> >
> > Nein.
> >
> > >
> > > Denn dann wäre die geometrische Vielfachheit =1 oder?
> >
> > Ja.
>
> Die algebraische Vielfachheit bleibt trotz des falschen
> Vektors immernoch 1 und somit ist die Matrix nicht
> diagonalisierbar!??
Jo!
> >
> > > Und somit wäre die Matrix nicht diagonalisierbar.
> >
> > Stimmt.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Ich hoffe jetzt hab ichs Viele Grüße Paula
LG
schachuzipus
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> Die algebraische Vielfachheit bleibt trotz des falschen
> Vektors immernoch 1
Die geometrische - welche Du sicher auch meinst.
Gruß v. Angela
> und somit ist die Matrix nicht
> diagonalisierbar!??
> >
> > > Und somit wäre die Matrix nicht diagonalisierbar.
> >
> > Stimmt.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Ich hoffe jetzt hab ichs Viele Grüße Paula
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Hallo Angela,
gut , dass du solch einen Scharfblick ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") hast, ich hatte das glatt "übergelesen" ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]")
Schönes Wochenende !
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Fr 17.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist Matrix A diagonalisierbar?
> [mm]A=\pmat{ -1 & -5 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \\ -3 & -4 & 3 }[/mm]
> Hallo
> an alle,
> Das charakteristische Polynom ist [mm]x^{3}-6x^{2}+12x-8.[/mm]
> Durch Polynomdivision und die p-q-Formel erhält man den
> dreifachen Eigenwert 2.
>
> Diagonalisierbarkeit ist ja u.a. so definiert, dass die
> Matrix n verschiedene Eigenwerte besitzen muss.
Das ist doch Unfug ! Dann wäre ja die nxn - Einheitsmatrix nicht diagonalisierbar !
FRED
> Dies ist
> hie allerdings nicht der Fall.
> Muss ich jetzt trotzdem noch gucken, ob die geometrische
> und algebraische Vielfachheit für den Eigenwert 2 gleich
> ist? Und wenn sie gleich ist, ist die Matrix dann wieder
> diagonalisierbar?
>
> Ich habe einfach mal damit angefangen:
> Da der Eigenwert ein dreifacher ist, ist die algebraische
> Vielfachheit=3.
> Um die geometrische Vielfachheit zu ermitteln muss ich die
> Matri [mm](2\cdot E_{n}-A)[/mm] ja in Zeilenstufenform bringen:
> [mm](2\cdot E_{n}-A)=\pmat{ 3 & -5 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ -3 & -4 & -1 }.[/mm]
>
> Leider schaffe ich das irgendwie nicht, habe ich mich
> irgendwo verrechnet? Ist die Matrix falsch? Hat jemand eine
> Idee, wie ich zur ZSF komme?
>
> Vielen Dank im Voraus, Paula
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