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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - diagonalmatrix
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diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Fr 05.12.2008
Autor: Gopal

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix [mm] a=\pmat{ 2 & -1&1 \\ -1 & 2&-1\\1&-1&2 } [/mm]

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
b)Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S mit der Eigenschaft, dass D:= [mm] SAS^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix ist.

Hallo.

also a) habe ich über das charakteristische Polynom berechnet:
[mm] |xE-A|=(x-4)(x-1)^2. [/mm] Also Eigenwerte 4 und 1, wenn ich mich nicht vertan habe.

Aber wie gehe ich jetzt b) an? Kann mir jemand ein paar Tipps geben?

        
Bezug
diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Fr 05.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Gegeben sei die Matrix [mm]a=\pmat{ 2 & -1&1 \\ -1 & 2&-1\\1&-1&2 }[/mm]
>  
> a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
>  b)Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S mit der
> Eigenschaft, dass D:= [mm]SAS^{-1}[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
>  Hallo.
>  
> also a) habe ich über das charakteristische Polynom
> berechnet:
>  [mm]|xE-A|=(x-4)(x-1)^2.[/mm] Also Eigenwerte 4 und 1, wenn ich
> mich nicht vertan habe.
>  
> Aber wie gehe ich jetzt b) an? Kann mir jemand ein paar
> Tipps geben?

Hallo,

um weiterzukommen, benötigst Du die Eigenvektoren.

Berechne also jeweils die Eigenräume zu  den Eigenwerten 4 und 1.

Du erhältst drei linear unabhängige Eigenvektoren, und weil es diese gibt, ist die Matrix diagonalisierbar.

Die Eigenvektoren stell dann als Spalten in eine Matrix T, berechne [mm] T^{-1}. [/mm]

Die Diagonalmatrix D erhältst Du dann so:

[mm] D=T^{-1}AT. [/mm]

Gruß v. Angela


Bezug
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